BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2020 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că numărul z=(1−i2)(1+i2)z = (1 - i\sqrt{2})(1 + i\sqrt{2}) este natural, unde i2=−1i^2 = -1.

Rezolvare

1
3 puncte
z=1−(i2)2=1−2i2=1−2(−1)=z = 1 - (i\sqrt{2})^2 = 1 - 2i^2 = 1 - 2(-1) =
2
2 puncte
=1+2=3= 1 + 2 = 3, care este număr natural
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x+af(x) = 3x + a, unde aa este număr real. Determinați numărul real aa, știind că f(x)+f(1−x)=7f(x) + f(1 - x) = 7, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
3 puncte
f(x)+f(1−x)=3x+a+3(1−x)+a=2a+3f(x) + f(1 - x) = 3x + a + 3(1 - x) + a = 2a + 3, pentru orice număr real xx
2
2 puncte
2a+3=7⇒a=22a + 3 = 7 \Rightarrow a = 2
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x+5−x=25^x + 5^{-x} = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
5x+5−x−2=0⇔(5x−1)2=05^x + 5^{-x} - 2 = 0 \Leftrightarrow (5^x - 1)^2 = 0
2
2 puncte
5x=15^x = 1, deci x=0x = 0
Exercițiul 4
Se consideră mulțimea A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\}. Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale lui AA, care îl conțin pe 11.

Rezolvare

1
3 puncte
Numărul submulțimilor cu trei elemente ale lui AA, care îl conțin pe 11, este egal cu numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii {2,3,4,5}\{2, 3, 4, 5\}, deci este egal cu C42=C_4^2 =
2
2 puncte
=4!2!(4−2)!=6= \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctul M(−4,4)M(-4, 4). Determinați ecuația dreptei dd care trece prin punctul MM și este perpendiculară pe dreapta OMOM.

Rezolvare

1
2 puncte
mOM=−1m_{OM} = -1 și, cum mOM⋅md=−1m_{OM} \cdot m_d = -1, obținem md=1m_d = 1
2
3 puncte
Ecuația dreptei dd este y−yM=md(x−xM)y - y_M = m_d(x - x_M), deci y=x+8y = x + 8
Exercițiul 6
Triunghiul ABCABC este dreptunghic în AA și sin⁡B=cos⁡B\sin B = \cos B. Arătați că triunghiul ABCABC este isoscel.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡B=ACBC\sin B = \frac{AC}{BC}
2
3 puncte
cos⁡B=ABBC⇒AB=AC\cos B = \frac{AB}{BC} \Rightarrow AB = AC, deci triunghiul ABCABC este isoscel

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(aa+1a+2a2+1a2+2a2+3124)A(a) = \begin{pmatrix} a & a+1 & a+2 \\ a^2+1 & a^2+2 & a^2+3 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=−1\det(A(0)) = -1. b) Demonstrați că, pentru orice număr real aa, matricea A(a)A(a) este inversabilă. c) Determinați numerele întregi aa pentru care inversa matricei A(a)A(a) are toate elementele numere întregi.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
A(0)=(012123124)A(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(0))=∣012123124∣=\det(A(0)) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=0+4+3−4−0−4=−1= 0 + 4 + 3 - 4 - 0 - 4 = -1
b)5 puncte
3
3 puncte
det⁡(A(a))=−(a2−a+1)\det(A(a)) = -(a^2 - a + 1), pentru orice număr real aa
4
2 puncte
a2−a+1≠0a^2 - a + 1 \neq 0, pentru orice număr real a⇒det⁡(A(a))≠0a \Rightarrow \det(A(a)) \neq 0, deci matricea A(a)A(a) este inversabilă, pentru orice număr real aa
c)5 puncte
5
3 puncte
Cum a∈Za \in \mathbb{Z}, inversa matricei A(a)A(a) are toate elementele numere întregi dacă det⁡(A(a))\det(A(a)) este divizor al lui 11 și, cum det⁡(A(a))<0\det(A(a)) < 0, pentru orice număr real aa, obținem că det⁡(A(a))=−1\det(A(a)) = -1
6
2 puncte
a=0a = 0 sau a=1a = 1, care convin
Exercițiul 2
Pe mulțimea A=[1,+∞)A = [1, +\infty) se definește legea de compoziție x∗y=12x3y3−x3−y3+93x * y = \frac{1}{2}\sqrt[3]{x^3 y^3 - x^3 - y^3 + 9}. a) Arătați că 1∗2020=11 * 2020 = 1. b) Demonstrați că x∗y=18(x3−1)(y3−1)+13x * y = \sqrt[3]{\frac{1}{8}(x^3 - 1)(y^3 - 1) + 1}, pentru orice x,y∈Ax, y \in A. c) Determinați x∈Ax \in A pentru care x∗x=xx * x = x.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
1∗2020=1213⋅20203−13−20203+93=1 * 2020 = \frac{1}{2}\sqrt[3]{1^3 \cdot 2020^3 - 1^3 - 2020^3 + 9} =
2
2 puncte
=12−1+93=1283=1= \frac{1}{2}\sqrt[3]{-1 + 9} = \frac{1}{2}\sqrt[3]{8} = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
x∗y=12x3y3−x3−y3+1+83=12x3(y3−1)−(y3−1)+83=x * y = \frac{1}{2}\sqrt[3]{x^3 y^3 - x^3 - y^3 + 1 + 8} = \frac{1}{2}\sqrt[3]{x^3(y^3 - 1) - (y^3 - 1) + 8} =
4
2 puncte
=18(x3−1)(y3−1)+18⋅83=18(x3−1)(y3−1)+13= \sqrt[3]{\frac{1}{8}(x^3 - 1)(y^3 - 1) + \frac{1}{8} \cdot 8} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}(x^3 - 1)(y^3 - 1) + 1}, pentru orice x,y∈Ax, y \in A
c)5 puncte
5
2 puncte
x∗x=18(x3−1)2+13x * x = \sqrt[3]{\frac{1}{8}(x^3 - 1)^2 + 1}, pentru orice x∈Ax \in A, deci 18(x3−1)2+1=x3\frac{1}{8}(x^3 - 1)^2 + 1 = x^3
6
3 puncte
(x3−1)2=8(x3−1)(x^3 - 1)^2 = 8(x^3 - 1), deci x3−1=0x^3 - 1 = 0 sau x3−1=8x^3 - 1 = 8, de unde x=1x = 1 sau x=93x = \sqrt[3]{9}, care convin

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(2,+∞)→Rf : (2, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=1x−2+ln⁡x−1xf(x) = \frac{1}{x - 2} + \ln\frac{x - 1}{x}. a) Arătați că f′(x)=−3x+4x(x−1)(x−2)2f'(x) = \frac{-3x + 4}{x(x - 1)(x - 2)^2}, x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty). b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Demonstrați că 1x−2>ln⁡xx−1\frac{1}{x - 2} > \ln\frac{x}{x - 1}, pentru orice x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=−1(x−2)2+x−(x−1)x−1⋅1x2=−x(x−1)+(x−2)2x(x−1)(x−2)2=f'(x) = \frac{-1}{(x - 2)^2} + \frac{x - (x - 1)}{x - 1} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{-x(x - 1) + (x - 2)^2}{x(x - 1)(x - 2)^2} =
2
2 puncte
=−x2+x+x2−4x+4x(x−1)(x−2)2=−3x+4x(x−1)(x−2)2= \frac{-x^2 + x + x^2 - 4x + 4}{x(x - 1)(x - 2)^2} = \frac{-3x + 4}{x(x - 1)(x - 2)^2}, x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty)
b)5 puncte
3
3 puncte
lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞(1x−2+ln⁡x−1x)=lim⁡x→+∞(1x−2+ln⁡(1−1x))=0\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{x - 2} + \ln\frac{x - 1}{x}\right) = \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{x - 2} + \ln\left(1 - \frac{1}{x}\right)\right) = 0
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=0y = 0 este asimptotă orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
3 puncte
x∈(2,+∞)⇒f′(x)<0x \in (2, +\infty) \Rightarrow f'(x) < 0, deci ff strict descrescătoare pe (2,+∞)(2, +\infty) și, cum lim⁡x→+∞f(x)=0\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0, obținem că f(x)>0f(x) > 0, pentru orice x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty)
6
2 puncte
1x−2+ln⁡x−1x>0\frac{1}{x - 2} + \ln\frac{x - 1}{x} > 0, deci 1x−2>−ln⁡x−1x\frac{1}{x - 2} > -\ln\frac{x - 1}{x}, de unde obținem că 1x−2>ln⁡xx−1\frac{1}{x - 2} > \ln\frac{x}{x - 1}, pentru orice x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→Rf : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xx3+1f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^3 + 1}}. a) Arătați că ∫01(x3+1)f2(x) dx=13\displaystyle\int_0^1 (x^3 + 1) f^2(x)\, dx = \frac{1}{3}. b) Arătați că ∫01f2(x) dx=13ln⁡2\displaystyle\int_0^1 f^2(x)\, dx = \frac{1}{3}\ln 2. c) Pentru fiecare număr natural nenul nn, se consideră numărul In=∫01f(xn) dxI_n = \displaystyle\int_0^1 f(x^n)\, dx. Demonstrați că lim⁡n→+∞In=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫01(x3+1)f2(x) dx=∫01(x3+1)⋅x2x3+1 dx=∫01x2 dx=\displaystyle\int_0^1 (x^3 + 1) f^2(x)\, dx = \int_0^1 (x^3 + 1) \cdot \frac{x^2}{x^3 + 1}\, dx = \int_0^1 x^2\, dx =
2
2 puncte
=x33∣01=13= \left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1 = \frac{1}{3}
b)5 puncte
3
3 puncte
∫01f2(x) dx=∫01x2x3+1 dx=13∫01(x3+1)′x3+1 dx=\displaystyle\int_0^1 f^2(x)\, dx = \int_0^1 \frac{x^2}{x^3 + 1}\, dx = \frac{1}{3}\int_0^1 \frac{(x^3 + 1)'}{x^3 + 1}\, dx =
4
2 puncte
=13ln⁡(x3+1)∣01=13ln⁡2= \frac{1}{3}\left.\ln(x^3 + 1)\right|_0^1 = \frac{1}{3}\ln 2
c)5 puncte
5
3 puncte
In=∫01f(xn) dx=∫01xnx3n+1 dxI_n = \displaystyle\int_0^1 f(x^n)\, dx = \int_0^1 \frac{x^n}{\sqrt{x^{3n} + 1}}\, dx și, cum 0≤xnx3n+1≤xn0 \leq \frac{x^n}{\sqrt{x^{3n} + 1}} \leq x^n, pentru x∈[0,1]x \in [0, 1] și, pentru fiecare număr natural nenul nn, obținem că 0≤In≤∫01xn dx0 \leq I_n \leq \displaystyle\int_0^1 x^n\, dx
6
2 puncte
0≤In≤1n+10 \leq I_n \leq \frac{1}{n + 1}, pentru fiecare număr natural nenul nn și, cum lim⁡n→+∞1n+1=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n + 1} = 0, obținem lim⁡n→+∞In=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n = 0

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2021 — Tehnologic

Următor →

Bac Vară 2020 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac