BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2021 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (1+i)2−2(1+i)+2=0(1 + i)^2 - 2(1 + i) + 2 = 0, unde i2=−1i^2 = -1.

Rezolvare

1
3 puncte
(1+i)2−2(1+i)+2=1+2i+i2−2−2i+2=(1 + i)^2 - 2(1 + i) + 2 = 1 + 2i + i^2 - 2 - 2i + 2 =
2
2 puncte
=1−1=0= 1 - 1 = 0
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+ax−5f(x) = x^2 + ax - 5, unde aa este număr real. Determinați numărul real aa, știind că punctul M(1,2)M(1, 2) aparține graficului funcției ff.

Rezolvare

1
3 puncte
f(1)=2⇒1+a−5=2f(1) = 2 \Rightarrow 1 + a - 5 = 2
2
2 puncte
a=6a = 6
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡4(x2+1)=log⁡4x+log⁡4(x+1)\log_4(x^2 + 1) = \log_4 x + \log_4(x + 1).

Rezolvare

1
3 puncte
log⁡4(x2+1)=log⁡4(x(x+1))\log_4(x^2 + 1) = \log_4(x(x + 1)), deci x2+1=x2+xx^2 + 1 = x^2 + x
2
2 puncte
x=1x = 1, care convine
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 22 și cu 55.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile
2
2 puncte
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 99 numere divizibile cu 22 și cu 55, deci sunt 99 cazuri favorabile
3
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=990=110p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele M(3,4)M(3, 4), N(0,1)N(0, 1) și P(3,0)P(3, 0). Determinați ecuația dreptei dd care trece prin punctul PP și este paralelă cu dreapta MNMN.

Rezolvare

1
3 puncte
mMN=1m_{MN} = 1 și, cum dreptele sunt paralele, obținem md=1m_d = 1
2
2 puncte
P∈dP \in d, deci ecuația dreptei dd este y−yP=md(x−xP)y - y_P = m_d(x - x_P), adică y=x−3y = x - 3
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în CC. Arătați că tg⁡B=1tg⁡A\operatorname{tg} B = \frac{1}{\operatorname{tg} A}.

Rezolvare

1
2 puncte
tg⁡A=BCAC\operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC}
2
3 puncte
tg⁡B=ACBC=1BCAC=1tg⁡A\operatorname{tg} B = \frac{AC}{BC} = \frac{1}{\frac{BC}{AC}} = \frac{1}{\operatorname{tg} A}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I3=(100010001)I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} și A(a)=(a+20−a0203a02−3a)A(a) = \begin{pmatrix} a+2 & 0 & -a \\ 0 & 2 & 0 \\ 3a & 0 & 2-3a \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=8\det(A(0)) = 8. b) Determinați matricea B∈M3(R)B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}), știind că aB=A(a)−2I3aB = A(a) - 2I_3, pentru orice număr real aa. c) Determinați numărul natural nn pentru care det⁡(A(n)⋅A(−n))>0\det(A(n) \cdot A(-n)) > 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
A(0)=(200020002)⇒det⁡(A(0))=∣200020002∣=A(0) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=8+0+0−0−0−0=8= 8 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 8
b)5 puncte
3
3 puncte
A(a)−2I3=(a+20−a0203a02−3a)−(200020002)=(a0−a0003a0−3a)A(a) - 2I_3 = \begin{pmatrix} a+2 & 0 & -a \\ 0 & 2 & 0 \\ 3a & 0 & 2-3a \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 & -a \\ 0 & 0 & 0 \\ 3a & 0 & -3a \end{pmatrix}, pentru orice număr real aa
4
2 puncte
aB=a(10−100030−3)aB = a\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -3 \end{pmatrix}, pentru orice număr real aa, deci B=(10−100030−3)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -3 \end{pmatrix}
c)5 puncte
5
3 puncte
A(n)⋅A(−n)=(4+2n20−2n20406n204−6n2)⇒det⁡(A(n)⋅A(−n))=64(1−n2)A(n) \cdot A(-n) = \begin{pmatrix} 4+2n^2 & 0 & -2n^2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 6n^2 & 0 & 4-6n^2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(n) \cdot A(-n)) = 64(1 - n^2), unde nn este număr natural
6
2 puncte
64(1−n2)>064(1 - n^2) > 0 și, cum nn este număr natural, obținem n=0n = 0
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=12(x+y+∣x−y∣)x * y = \frac{1}{2}(x + y + |x - y|). a) Arătați că 2∗0=22 * 0 = 2. b) Demonstrați că, dacă aa și bb sunt numere reale astfel încât a≤ba \leq b, atunci a∗b=ba * b = b. c) Determinați numerele reale xx pentru care (2x)∗(x2+1)∗(−2x)=10(2x) * (x^2 + 1) * (-2x) = 10.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
2∗0=12(2+0+∣2−0∣)=2 * 0 = \frac{1}{2}(2 + 0 + |2 - 0|) =
2
2 puncte
=12(2+2)=2= \frac{1}{2}(2 + 2) = 2
b)5 puncte
3
2 puncte
a≤b⇒∣a−b∣=b−aa \leq b \Rightarrow |a - b| = b - a
4
3 puncte
a∗b=12(a+b+∣a−b∣)=12(a+b+b−a)=12⋅2b=ba * b = \frac{1}{2}(a + b + |a - b|) = \frac{1}{2}(a + b + b - a) = \frac{1}{2} \cdot 2b = b, pentru orice numere reale aa și bb astfel încât a≤ba \leq b
c)5 puncte
5
3 puncte
x2+1≥2xx^2 + 1 \geq 2x și x2+1≥−2xx^2 + 1 \geq -2x, pentru orice număr real xx, deci ((2x)∗(x2+1))∗(−2x)=(x2+1)∗(−2x)=(−2x)∗(x2+1)=x2+1((2x) * (x^2 + 1)) * (-2x) = (x^2 + 1) * (-2x) = (-2x) * (x^2 + 1) = x^2 + 1, pentru orice număr real xx
6
2 puncte
x2+1=10x^2 + 1 = 10, deci x=−3x = -3 sau x=3x = 3

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x−x2+3f(x) = x - \sqrt{x^2 + 3}. a) Arătați că f′(x)=x2+3−xx2+3f'(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 3} - x}{\sqrt{x^2 + 3}}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui aa pentru care ecuația f(x)=af(x) = a are soluție.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=1−2x2x2+3=f'(x) = 1 - \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 3}} =
2
2 puncte
=1−xx2+3=x2+3−xx2+3= 1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 + 3}} = \frac{\sqrt{x^2 + 3} - x}{\sqrt{x^2 + 3}}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
3 puncte
lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞(x−x2+3)=lim⁡x→+∞x2−(x2+3)x+x2+3=lim⁡x→+∞−3x+x2+3=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(x - \sqrt{x^2 + 3}\right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - (x^2 + 3)}{x + \sqrt{x^2 + 3}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-3}{x + \sqrt{x^2 + 3}} = 0
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=0y = 0 este asimptota orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
2 puncte
f′(x)>0f'(x) > 0, pentru orice număr real xx, deci ff este strict crescătoare
6
3 puncte
Cum lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty, lim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 și ff este funcție continuă, ecuația f(x)=af(x) = a are soluție ⇔a∈(−∞,0)\Leftrightarrow a \in (-\infty, 0)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=xx2+x+3f(x) = \frac{x}{x^2 + x + 3}. a) Arătați că ∫02(x2+x+3)f(x) dx=2\displaystyle\int_0^2 (x^2 + x + 3) f(x)\, dx = 2. b) Arătați că ∫12g(x) dx=ln⁡95\displaystyle\int_1^2 g(x)\, dx = \ln\frac{9}{5}, unde g:(0,+∞)→Rg : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, g(x)=2x+1x⋅f(x)g(x) = \frac{2x + 1}{x} \cdot f(x). c) Se consideră numerele reale aa și bb, cu 0≤a<b0 \leq a < b. Pentru fiecare număr natural nenul nn, se consideră numărul In=∫abfn(x) dxI_n = \displaystyle\int_a^b f^n(x)\, dx. Demonstrați că lim⁡n→+∞In=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫02(x2+x+3)f(x) dx=∫02(x2+x+3)⋅xx2+x+3 dx=∫02x dx=x22∣02=\displaystyle\int_0^2 (x^2 + x + 3) f(x)\, dx = \int_0^2 (x^2 + x + 3) \cdot \frac{x}{x^2 + x + 3}\, dx = \int_0^2 x\, dx = \left.\frac{x^2}{2}\right|_0^2 =
2
2 puncte
=42=2= \frac{4}{2} = 2
b)5 puncte
3
3 puncte
∫12g(x) dx=∫122x+1x2+x+3 dx=∫12(x2+x+3)′x2+x+3 dx=\displaystyle\int_1^2 g(x)\, dx = \int_1^2 \frac{2x + 1}{x^2 + x + 3}\, dx = \int_1^2 \frac{(x^2 + x + 3)'}{x^2 + x + 3}\, dx =
4
2 puncte
=ln⁡(x2+x+3)∣12=ln⁡9−ln⁡5=ln⁡95= \left.\ln(x^2 + x + 3)\right|_1^2 = \ln 9 - \ln 5 = \ln\frac{9}{5}
c)5 puncte
5
2 puncte
0≤xx2+x+3≤120 \leq \frac{x}{x^2 + x + 3} \leq \frac{1}{2}, pentru orice x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty), deci 0≤fn(x)≤(12)n0 \leq f^n(x) \leq \left(\frac{1}{2}\right)^n, pentru orice x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty) și orice număr natural nenul nn
6
3 puncte
0≤In=∫abfn(x) dx≤(12)n(b−a)0 \leq I_n = \displaystyle\int_a^b f^n(x)\, dx \leq \left(\frac{1}{2}\right)^n (b - a), pentru orice număr natural nenul nn și, cum lim⁡n→+∞(12)n=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0, obținem că lim⁡n→+∞In=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n = 0

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare 2021 — Tehnologic

Următor →

Bac Vară 2021 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac