BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2021 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 2⋅(2−34:12)=12 \cdot \left(2 - \dfrac{3}{4} : \dfrac{1}{2}\right) = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
2⋅(2−34:12)=2⋅(2−32)=2 \cdot \left(2 - \dfrac{3}{4} : \dfrac{1}{2}\right) = 2 \cdot \left(2 - \dfrac{3}{2}\right) =
2
2 puncte
=2⋅12=1= 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 1
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+2f(x) = x + 2 și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=x−4g(x) = x - 4. Arătați că f(1)+g(1)=0f(1) + g(1) = 0.

Rezolvare

1
2 puncte
f(1)=3f(1) = 3
2
3 puncte
g(1)=−3⇒f(1)+g(1)=3+(−3)=0g(1) = -3 \Rightarrow f(1) + g(1) = 3 + (-3) = 0
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 24−x=42^{4-x} = 4.

Rezolvare

1
3 puncte
24−x=22⇔4−x=22^{4-x} = 2^2 \Leftrightarrow 4 - x = 2
2
2 puncte
x=2x = 2
Exercițiul 4
Un produs costă 7070 de lei. Determinați prețul produsului după o scumpire cu 30%30\%.

Rezolvare

1
3 puncte
30100⋅70=21\dfrac{30}{100} \cdot 70 = 21 de lei
2
2 puncte
Prețul după scumpire este 70+21=9170 + 21 = 91 de lei
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(−3,4)A(-3, 4), B(−3,0)B(-3, 0) și C(0,4)C(0, 4). Calculați perimetrul triunghiului ABCABC.

Rezolvare

1
2 puncte
AB=4AB = 4, AC=3AC = 3
2
3 puncte
BC=5BC = 5, de unde obținem P△ABC=AB+BC+AC=12P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC = 12
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, în care AC=2AC = 2, BC=4BC = 4 și unghiul AA are măsura egală cu 30°30°. Arătați că sin⁡B=14\sin B = \dfrac{1}{4}.

Rezolvare

1
3 puncte
ACsin⁡B=BCsin⁡A⇔2sin⁡B=412\dfrac{AC}{\sin B} = \dfrac{BC}{\sin A} \Leftrightarrow \dfrac{2}{\sin B} = \dfrac{4}{\dfrac{1}{2}}
2
2 puncte
sin⁡B=14\sin B = \dfrac{1}{4}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(3−221)A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, B=(4−331)B = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} și I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. a) Arătați că det⁡A=7\det A = 7. b) Arătați că 2B+I2=3A2B + I_2 = 3A. c) Determinați matricea X∈M2(R)X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care A⋅X−B⋅X=I2−XA \cdot X - B \cdot X = I_2 - X.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
det⁡A=∣3−221∣=3⋅1−(−2)⋅2=\det A = \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 - (-2) \cdot 2 =
2
2 puncte
=3+4=7= 3 + 4 = 7
b)5 puncte
3
3 puncte
2B+I2=2(4−331)+(1001)=(9−663)=2B + I_2 = 2\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -6 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} =
4
2 puncte
=3(3−221)=3A= 3\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 3A
c)5 puncte
5
2 puncte
A⋅X−B⋅X=I2−X⇔(A−B+I2)⋅X=I2A \cdot X - B \cdot X = I_2 - X \Leftrightarrow (A - B + I_2) \cdot X = I_2
6
3 puncte
Cum det⁡(A−B+I2)=∣01−11∣=1\det(A - B + I_2) = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1, obținem X=(A−B+I2)−1X = (A - B + I_2)^{-1}, deci X=(1−110)X = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=3−(x−3)(y−3)x * y = 3 - (x - 3)(y - 3). a) Arătați că 1∗3=31 * 3 = 3. b) Arătați că e=2e = 2 este elementul neutru al legii de compoziție „∗*". c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui xx pentru care x∗(x+6)≥3x * (x + 6) \geq 3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
1∗3=3−(1−3)(3−3)=1 * 3 = 3 - (1 - 3)(3 - 3) =
2
2 puncte
=3−0=3= 3 - 0 = 3
b)5 puncte
3
2 puncte
x∗2=3−(x−3)(2−3)=3+x−3=xx * 2 = 3 - (x - 3)(2 - 3) = 3 + x - 3 = x, pentru orice număr real xx
4
3 puncte
2∗x=3−(2−3)(x−3)=3+x−3=x2 * x = 3 - (2 - 3)(x - 3) = 3 + x - 3 = x, pentru orice număr real xx, deci e=2e = 2 este elementul neutru al legii de compoziție „∗*"
c)5 puncte
5
2 puncte
x∗(x+6)=3−(x−3)(x+3)x * (x + 6) = 3 - (x - 3)(x + 3), pentru orice număr real xx
6
3 puncte
3−(x−3)(x+3)≥3⇔(x−3)(x+3)≤03 - (x - 3)(x + 3) \geq 3 \Leftrightarrow (x - 3)(x + 3) \leq 0, de unde obținem x∈[−3,3]x \in [-3, 3]

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=4x+ln⁡x−5f(x) = \dfrac{4}{x} + \ln x - 5. a) Arătați că f′(x)=x−4x2f'(x) = \dfrac{x - 4}{x^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff. c) Arătați că nu există asimptotă spre +∞+\infty la graficul funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=−4x2+1x−0=f'(x) = -\dfrac{4}{x^2} + \dfrac{1}{x} - 0 =
2
2 puncte
=−4+xx2=x−4x2= \dfrac{-4 + x}{x^2} = \dfrac{x - 4}{x^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
f′(x)=0⇔x=4f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 4
4
3 puncte
f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈(0,4]x \in (0, 4], deci ff este descrescătoare pe (0,4](0, 4] și f′(x)≥0f'(x) \geq 0, pentru orice x∈[4,+∞)x \in [4, +\infty), deci ff este crescătoare pe [4,+∞)[4, +\infty)
c)5 puncte
5
3 puncte
lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞(4x2+ln⁡xx−5x)=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{4}{x^2} + \dfrac{\ln x}{x} - \dfrac{5}{x}\right) = 0
6
2 puncte
lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞(4x+ln⁡x−5)=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{4}{x} + \ln x - 5\right) = +\infty, deci nu există asimptotă spre +∞+\infty la graficul funcției ff
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex+3x2+3f(x) = e^x + 3x^2 + 3. a) Arătați că ∫12(f(x)−ex−3)dx=7\displaystyle\int_1^2 \left(f(x) - e^x - 3\right) dx = 7. b) Arătați că ∫01x(f(x)−3x2)dx=52\displaystyle\int_0^1 x\left(f(x) - 3x^2\right) dx = \dfrac{5}{2}. c) Determinați a∈(0,1)a \in (0, 1), știind că ∫0a1f(x)−f′(x) dx=16\displaystyle\int_0^a \dfrac{1}{f(x) - f'(x)}\, dx = \dfrac{1}{6}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫12(f(x)−ex−3)dx=∫123x2 dx=x3∣12=\displaystyle\int_1^2 \left(f(x) - e^x - 3\right) dx = \int_1^2 3x^2\, dx = \left. x^3 \right|_1^2 =
2
2 puncte
=8−1=7= 8 - 1 = 7
b)5 puncte
3
3 puncte
∫01x(f(x)−3x2)dx=∫01(xex+3x)dx=(xex−ex)∣01+3x22∣01=\displaystyle\int_0^1 x\left(f(x) - 3x^2\right) dx = \int_0^1 \left(xe^x + 3x\right) dx = \left.(xe^x - e^x)\right|_0^1 + \left.\dfrac{3x^2}{2}\right|_0^1 =
4
2 puncte
=1+32=52= 1 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2}
c)5 puncte
5
3 puncte
f′(x)=ex+6x⇒f(x)−f′(x)=3(x−1)2f'(x) = e^x + 6x \Rightarrow f(x) - f'(x) = 3(x - 1)^2, deci ∫0a1f(x)−f′(x) dx=13∫0a1(x−1)2 dx=−13⋅1x−1∣0a=−13(1a−1+1)\displaystyle\int_0^a \dfrac{1}{f(x) - f'(x)}\, dx = \dfrac{1}{3}\int_0^a \dfrac{1}{(x - 1)^2}\, dx = -\dfrac{1}{3} \cdot \left.\dfrac{1}{x - 1}\right|_0^a = -\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a - 1} + 1\right), pentru orice a∈(0,1)a \in (0, 1)
6
2 puncte
−13(1a−1+1)=16-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a - 1} + 1\right) = \dfrac{1}{6}, de unde obținem a=13a = \dfrac{1}{3}, care convine

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2021 — Științele Naturii

Următor →

Bac Specială 2021 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac