BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2022 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 5−3⋅(1+13)=15 - 3 \cdot \left(1 + \dfrac{1}{3}\right) = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
5−3⋅(1+13)=5−3⋅43=5 - 3 \cdot \left(1 + \dfrac{1}{3}\right) = 5 - 3 \cdot \dfrac{4}{3} =
2
2 puncte
=5−4=1= 5 - 4 = 1
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x−4f(x) = x - 4. Determinați numărul real aa pentru care f(a)=2f(a) = 2.

Rezolvare

1
2 puncte
f(a)=a−4f(a) = a - 4
2
3 puncte
a−4=2a - 4 = 2, de unde obținem a=6a = 6
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4+2x=2\sqrt{4 + 2x} = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
4+2x=44 + 2x = 4
2
2 puncte
x=0x = 0, care convine
Exercițiul 4
Un produs costă 9090 de lei. Determinați prețul produsului după o scumpire cu 10%10\%.

Rezolvare

1
3 puncte
10100⋅90=9\dfrac{10}{100} \cdot 90 = 9 lei
2
2 puncte
Prețul după scumpire este 90+9=9990 + 9 = 99 de lei
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,4)A(1, 4), B(5,0)B(5, 0) și M(a,b)M(a, b), unde aa și bb sunt numere reale. Determinați numerele reale aa și bb, știind că punctul MM este mijlocul segmentului ABAB.

Rezolvare

1
3 puncte
a=1+52a = \dfrac{1 + 5}{2}, b=4+02b = \dfrac{4 + 0}{2}
2
2 puncte
a=3a = 3, b=2b = 2
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC dreptunghic în AA, în care măsura unghiului CC este egală cu 30°30° și AB=3AB = 3. Arătați că BC=6BC = 6.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡C=ABBC\sin C = \dfrac{AB}{BC}
2
3 puncte
12=3BC\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{BC}, de unde obținem BC=6BC = 6

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(2143)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}, B=(2−213)B = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} și C=(2−123)C = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}. a) Arătați că det⁡A=2\det A = 2. b) Arătați că A+2B=3CA + 2B = 3C. c) Determinați numerele reale xx pentru care det⁡(B⋅C+x(A−C))=0\det\left(B \cdot C + x(A - C)\right) = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
det⁡A=∣2143∣=2⋅3−1⋅4=\det A = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 4 =
2
2 puncte
=6−4=2= 6 - 4 = 2
b)5 puncte
3
3 puncte
2B=(4−426)⇒A+2B=(6−369)=2B = \begin{pmatrix} 4 & -4 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \Rightarrow A + 2B = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 6 & 9 \end{pmatrix} =
4
2 puncte
=3(2−123)=3C= 3\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = 3C
c)5 puncte
5
3 puncte
B⋅C+x(A−C)=(0−8+2x8+2x8)B \cdot C + x(A - C) = \begin{pmatrix} 0 & -8 + 2x \\ 8 + 2x & 8 \end{pmatrix}, deci det⁡(B⋅C+x(A−C))=(8+2x)(8−2x)\det\left(B \cdot C + x(A - C)\right) = (8 + 2x)(8 - 2x), pentru orice număr real xx
6
2 puncte
(8+2x)(8−2x)=0(8 + 2x)(8 - 2x) = 0, de unde obținem x=−4x = -4 sau x=4x = 4
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x+2y)(y+2x)+2x * y = (x + 2y)(y + 2x) + 2. a) Arătați că 1∗1=111 * 1 = 11. b) Determinați numerele reale xx pentru care x∗0=4x * 0 = 4. c) Demonstrați că x∗1x>7x * \dfrac{1}{x} > 7, pentru orice număr real nenul xx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
1∗1=(1+2⋅1)(1+2⋅1)+2=1 * 1 = (1 + 2 \cdot 1)(1 + 2 \cdot 1) + 2 =
2
2 puncte
=3⋅3+2=11= 3 \cdot 3 + 2 = 11
b)5 puncte
3
3 puncte
x∗0=2x2+2x * 0 = 2x^2 + 2, pentru orice număr real xx, deci 2x2+2=42x^2 + 2 = 4
4
2 puncte
x2−1=0x^2 - 1 = 0, de unde obținem x=−1x = -1 sau x=1x = 1
c)5 puncte
5
3 puncte
x∗1x=(x+2x)(1x+2x)+2=1+2x2+2x2+4+2=x * \dfrac{1}{x} = \left(x + \dfrac{2}{x}\right)\left(\dfrac{1}{x} + 2x\right) + 2 = 1 + 2x^2 + \dfrac{2}{x^2} + 4 + 2 =
6
2 puncte
=2(x2+1x2)+7>7= 2\left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right) + 7 > 7, pentru orice număr real nenul xx

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x5+5x4−10x3+1f(x) = 2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 1. a) Arătați că f′(x)=10x2(x2+2x−3)f'(x) = 10x^2(x^2 + 2x - 3), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=0x = 0, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că 2x5+5x4−10x3+3≥02x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 3 \geq 0, pentru orice x∈[−3,+∞)x \in [-3, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=2⋅5x4+5⋅4x3−10⋅3x2=f'(x) = 2 \cdot 5x^4 + 5 \cdot 4x^3 - 10 \cdot 3x^2 =
2
2 puncte
=10x4+20x3−30x2=10x2(x2+2x−3)= 10x^4 + 20x^3 - 30x^2 = 10x^2(x^2 + 2x - 3), x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
f(0)=1f(0) = 1, f′(0)=0f'(0) = 0
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0)y - f(0) = f'(0)(x - 0), adică y=1y = 1
c)5 puncte
5
3 puncte
f′(x)=0⇔x=−3f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -3 sau x=0x = 0 sau x=1x = 1; f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈[−3,1]x \in [-3, 1], deci ff este descrescătoare pe [−3,1][-3, 1] și f′(x)≥0f'(x) \geq 0, pentru orice x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty), deci ff este crescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty), deci f(x)≥f(1)f(x) \geq f(1), pentru orice x∈[−3,+∞)x \in [-3, +\infty)
6
2 puncte
f(1)=−2f(1) = -2, de unde obținem 2x5+5x4−10x3+1≥−22x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 1 \geq -2, deci 2x5+5x4−10x3+3≥02x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 3 \geq 0, pentru orice x∈[−3,+∞)x \in [-3, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→Rf : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=6x+2x+1f(x) = 6x + \dfrac{2}{x + 1}. a) Arătați că ∫02(f(x)−2x+1)dx=12\displaystyle\int_0^2 \left(f(x) - \dfrac{2}{x + 1}\right) dx = 12. b) Arătați că ∫01(f(x)−6x)dx=2ln⁡2\displaystyle\int_0^1 \left(f(x) - 6x\right) dx = 2\ln 2. c) Determinați numărul real aa pentru care ∫1e(f(x)−2x+1)⋅ln⁡2x dx=a(e2−1)2\displaystyle\int_1^e \left(f(x) - \dfrac{2}{x + 1}\right) \cdot \ln^2 x\, dx = \dfrac{a(e^2 - 1)}{2}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫02(f(x)−2x+1)dx=∫026x dx=6⋅x22∣02=\displaystyle\int_0^2 \left(f(x) - \dfrac{2}{x + 1}\right) dx = \int_0^2 6x\, dx = 6 \cdot \dfrac{x^2}{2}\bigg|_0^2 =
2
2 puncte
=12−0=12= 12 - 0 = 12
b)5 puncte
3
3 puncte
∫01(f(x)−6x)dx=∫012x+1 dx=2ln⁡(x+1)∣01=\displaystyle\int_0^1 \left(f(x) - 6x\right) dx = \int_0^1 \dfrac{2}{x + 1}\, dx = 2\ln(x + 1)\bigg|_0^1 =
4
2 puncte
=2ln⁡2−2ln⁡1=2ln⁡2= 2\ln 2 - 2\ln 1 = 2\ln 2
c)5 puncte
5
3 puncte
∫1e(f(x)−2x+1)⋅ln⁡2x dx=∫1e6xln⁡2x dx=∫1e(3x2)′ln⁡2x dx=3x2ln⁡2x∣1e−∫1e6xln⁡x dx=3e2−3x2ln⁡x∣1e+3x22∣1e=3(e2−1)2\displaystyle\int_1^e \left(f(x) - \dfrac{2}{x + 1}\right) \cdot \ln^2 x\, dx = \int_1^e 6x \ln^2 x\, dx = \int_1^e (3x^2)' \ln^2 x\, dx = 3x^2 \ln^2 x\bigg|_1^e - \int_1^e 6x \ln x\, dx = 3e^2 - 3x^2 \ln x\bigg|_1^e + \dfrac{3x^2}{2}\bigg|_1^e = \dfrac{3(e^2 - 1)}{2}
6
2 puncte
3(e2−1)2=a(e2−1)2\dfrac{3(e^2 - 1)}{2} = \dfrac{a(e^2 - 1)}{2}, de unde obținem a=3a = 3

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2022 — Științele Naturii

Următor →

Bac Specială 2022 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac