BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2025 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați termenul a3a_3 al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, în care a1=4a_1 = 4 și a2=15a_2 = 15.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează rația progresiei r=a2−a1=15−4=11r = a_2 - a_1 = 15 - 4 = 11.
2
2 puncte
Se calculează a3=a2+r=15+11=26a_3 = a_2 + r = 15 + 11 = 26.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x−2f(x) = 3x - 2. Determinați numărul real aa pentru care f(a)+f(2)=2af(a) + f(2) = 2a.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează f(2)=4f(2) = 4 și f(a)=3a−2f(a) = 3a - 2, pentru orice număr real aa.
2
3 puncte
Se obține ecuația 3a−2+4=2a3a - 2 + 4 = 2a, de unde a=−2a = -2.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x2−3x+2)=log⁡2(2+x)\log_2(x^2 - 3x + 2) = \log_2(2 + x).

Rezolvare

1
2 puncte
Din egalitatea argumentelor se obține x2−3x+2=2+xx^2 - 3x + 2 = 2 + x, de unde x2−4x=0x^2 - 4x = 0.
2
3 puncte
Se obține x=0x = 0 sau x=4x = 4, care convin.
Exercițiul 4
Determinați câte numere naturale pare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii A={1,2,3,5,7,8}A = \{1, 2, 3, 5, 7, 8\}.

Rezolvare

1
2 puncte
Cifra unităților se poate alege în 22 moduri (din cifrele pare 22 și 88).
2
3 puncte
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 55 moduri, deci se pot forma 2⋅5=102 \cdot 5 = 10 numere.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,5)A(0, 5), B(8,4)B(8, 4) și CC, mijlocul segmentului OBOB. Arătați că AO=ACAO = AC.

Rezolvare

1
2 puncte
Se determină coordonatele punctului C(4,2)C(4, 2), mijlocul segmentului OBOB.
2
3 puncte
Se calculează AO=5AO = 5 și AC=5AC = 5, deci AO=ACAO = AC.
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AB=4AB = 4 și cos⁡B=23\cos B = \dfrac{2}{3}. Arătați că BC=6BC = 6.

Rezolvare

1
3 puncte
Din cos⁡B=ABBC\cos B = \dfrac{AB}{BC} se obține 23=4BC\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{BC}.
2
2 puncte
Se calculează BC=3⋅42=6BC = \dfrac{3 \cdot 4}{2} = 6.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A=(−28−13)A = \begin{pmatrix} -2 & 8 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}. a) Arătați că det⁡A=2\det A = 2. b) Arătați că matricea B=12(I2−A)B = \dfrac{1}{2}(I_2 - A) este inversa matricei AA. c) Determinați matricea X∈M2(R)X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care (A−I2)⋅X=2A(A - I_2) \cdot X = 2A.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
Se calculează det⁡A=∣−28−13∣=(−2)⋅3−8⋅(−1)=\det A = \begin{vmatrix} -2 & 8 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (-2) \cdot 3 - 8 \cdot (-1) =
2
2 puncte
=−6+8=2= -6 + 8 = 2.
b)5 puncte
3
3 puncte
Se calculează I2−A=(3−81−2)I_2 - A = \begin{pmatrix} 3 & -8 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}, deci B=(32−412−1)B = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -4 \\ \frac{1}{2} & -1 \end{pmatrix}.
4
2 puncte
Se verifică A⋅B=B⋅A=I2A \cdot B = B \cdot A = I_2, deci matricea BB este inversa matricei AA.
c)5 puncte
5
3 puncte
Cum A−I2=−2A−1A - I_2 = -2A^{-1}, se obține −2A−1⋅X=2A-2A^{-1} \cdot X = 2A, deci X=−A⋅AX = -A \cdot A.
6
2 puncte
Se calculează X=(4−81−1)X = \begin{pmatrix} 4 & -8 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.
Exercițiul 2
Pe mulțimea M=[0,+∞)M = [0, +\infty) se definește legea de compoziție x∗y=x+y−xyx * y = x + y - \sqrt{xy}. a) Arătați că 1∗4=31 * 4 = 3. b) Determinați x∈Mx \in M pentru care x∗(9x)=x2x * (9x) = x^2. c) Determinați numărul real xx pentru care 2x∗2x+2=6x2^x * 2^{x+2} = 6^x.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
Se calculează 1∗4=1+4−1⋅4=1 * 4 = 1 + 4 - \sqrt{1 \cdot 4} =
2
2 puncte
=5−2=3= 5 - 2 = 3.
b)5 puncte
3
2 puncte
Se calculează x∗(9x)=x+9x−9x2=7xx * (9x) = x + 9x - \sqrt{9x^2} = 7x, pentru orice x∈Mx \in M.
4
3 puncte
Se obține 7x=x27x = x^2, de unde x=0x = 0 sau x=7x = 7, care convin.
c)5 puncte
5
3 puncte
Se calculează 2x∗2x+2=2x+2x+2−2x+1=2x⋅32^x * 2^{x+2} = 2^x + 2^{x+2} - 2^{x+1} = 2^x \cdot 3, pentru orice număr real xx.
6
2 puncte
Se obține 2x⋅3=6x2^x \cdot 3 = 6^x, deci 3x=33^x = 3, de unde x=1x = 1.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=2xx2+x+2f(x) = \dfrac{2\sqrt{x}}{x^2 + x + 2}. a) Arătați că f′(x)=−3x2−x+2(x2+x+2)2xf'(x) = \dfrac{-3x^2 - x + 2}{(x^2 + x + 2)^2 \sqrt{x}}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Determinați a∈(0,+∞)a \in (0, +\infty) pentru care tangenta la graficul funcției ff în punctul A(a,f(a))A(a, f(a)) este paralelă cu axa OxOx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
Se derivează folosind regula câtului: f′(x)=1x(x2+x+2)−2x(2x+1)(x2+x+2)2=f'(x) = \dfrac{\frac{1}{\sqrt{x}}(x^2 + x + 2) - 2\sqrt{x}(2x + 1)}{(x^2 + x + 2)^2} =
2
2 puncte
=x2+x+2−4x2−2x(x2+x+2)2x=−3x2−x+2(x2+x+2)2x= \dfrac{x^2 + x + 2 - 4x^2 - 2x}{(x^2 + x + 2)^2 \sqrt{x}} = \dfrac{-3x^2 - x + 2}{(x^2 + x + 2)^2 \sqrt{x}}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
b)5 puncte
3
3 puncte
Se calculează lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞2xx2+x+2=lim⁡x→+∞2xx+x+2x=0\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2\sqrt{x}}{x^2 + x + 2} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2}{x\sqrt{x} + \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}} = 0.
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=0y = 0 este asimptota orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff.
c)5 puncte
5
3 puncte
Tangenta în punctul A(a,f(a))A(a, f(a)) este paralelă cu axa OxOx dacă și numai dacă f′(a)=0f'(a) = 0, a∈(0,+∞)a \in (0, +\infty).
6
2 puncte
Se rezolvă −3a2−a+2(a2+a+2)2a=0\dfrac{-3a^2 - a + 2}{(a^2 + a + 2)^2 \sqrt{a}} = 0, de unde a=−1a = -1 (nu convine) sau a=23a = \dfrac{2}{3} (convine).
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3+3x+3f(x) = x^3 + 3x + 3. a) Arătați că ∫02(f(x)−3x−3) dx=4\displaystyle\int_0^2 (f(x) - 3x - 3) \, dx = 4. b) Arătați că ∫011(f(x)−x3)2 dx=118\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{(f(x) - x^3)^2} \, dx = \dfrac{1}{18}. c) Determinați numărul real mm pentru care ∫1ef(x)−3x2⋅ln⁡x dx=e2+m4\displaystyle\int_1^e \dfrac{f(x) - 3}{x^2} \cdot \ln x \, dx = \dfrac{e^2 + m}{4}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
Se simplifică ∫02(f(x)−3x−3) dx=∫02x3 dx=x44∣02=\displaystyle\int_0^2 (f(x) - 3x - 3) \, dx = \int_0^2 x^3 \, dx = \left. \dfrac{x^4}{4} \right|_0^2 =
2
2 puncte
=4−0=4= 4 - 0 = 4.
b)5 puncte
3
3 puncte
Se simplifică ∫011(f(x)−x3)2 dx=13∫01(3x+3)′(3x+3)2 dx=−13⋅13x+3∣01=\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{(f(x) - x^3)^2} \, dx = \dfrac{1}{3} \int_0^1 \dfrac{(3x + 3)'}{(3x + 3)^2} \, dx = -\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3x + 3} \Big|_0^1 =
4
2 puncte
=−118+19=118= -\dfrac{1}{18} + \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{18}.
c)5 puncte
5
3 puncte
Se calculează ∫1ef(x)−3x2⋅ln⁡x dx=∫1e(x22)′⋅ln⁡x dx+∫1e3ln⁡xx dx=(x22⋅ln⁡x−x24)∣1e+3ln⁡2x2∣1e=e2+74\displaystyle\int_1^e \dfrac{f(x) - 3}{x^2} \cdot \ln x \, dx = \int_1^e \left(\dfrac{x^2}{2}\right)' \cdot \ln x \, dx + \int_1^e \dfrac{3 \ln x}{x} \, dx = \left. \left(\dfrac{x^2}{2} \cdot \ln x - \dfrac{x^2}{4}\right) \right|_1^e + \left. \dfrac{3 \ln^2 x}{2} \right|_1^e = \dfrac{e^2 + 7}{4}.
6
2 puncte
Se obține e2+m4=e2+74\dfrac{e^2 + m}{4} = \dfrac{e^2 + 7}{4}, de unde m=7m = 7.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2025 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Vară 2025 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac