BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară Rezervă 2010 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră o progresie aritmetică (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} în care a3=5a_3 = 5 și a5=11a_5 = 11. Calculați suma primilor șapte termeni ai progresiei.

Rezolvare

1
3 puncte
{a1+2r=5a1+4r=11⇒a1=−1\begin{cases} a_1 + 2r = 5 \\ a_1 + 4r = 11 \end{cases} \Rightarrow a_1 = -1, r=3r = 3
2
2 puncte
a7=a1+6r=17a_7 = a_1 + 6r = 17, S7=56S_7 = 56
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f,g:R→Rf, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1, g(x)=x+3g(x) = x + 3. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor ff și gg.

Rezolvare

1
2 puncte
f(x)=g(x)⇒2x−1=x+3f(x) = g(x) \Rightarrow 2x - 1 = x + 3
2
2 puncte
x=4x = 4 și y=7y = 7
3
1 punct
A(4,7)A(4, 7)
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2−13=2\sqrt[3]{x^2 - 1} = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
x2−1=8x^2 - 1 = 8
2
2 puncte
x=±3x = \pm 3
Exercițiul 4
Calculați a⋅ba \cdot b știind că a+b=150a + b = 150 și numărul aa reprezintă 25%25\% din numărul bb.

Rezolvare

1
3 puncte
a+b=150⇒b4+b=150⇒b=120a + b = 150 \Rightarrow \dfrac{b}{4} + b = 150 \Rightarrow b = 120
2
1 punct
a=30a = 30
3
1 punct
a⋅b=3600a \cdot b = 3600
Exercițiul 5
Determinați m∈Rm \in \mathbb{R} pentru care punctele A(2,3)A(2, 3), B(4,5)B(4, 5) și C(m+1,m2)C(m + 1, m^2) sunt coliniare.

Rezolvare

1
2 puncte
AB:x−22=y−32⇒x−y+1=0AB: \dfrac{x - 2}{2} = \dfrac{y - 3}{2} \Rightarrow x - y + 1 = 0
2
1 punct
C∈AB⇒m2−m−2=0C \in AB \Rightarrow m^2 - m - 2 = 0
3
2 puncte
m=−1m = -1 sau m=2m = 2
Exercițiul 6
Calculați cos⁡x\cos x, știind că sin⁡x=13\sin x = \dfrac{1}{3} și x∈(0,π2)x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right).

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡2x+cos⁡2x=1⇒cos⁡x=±223\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \Rightarrow \cos x = \pm\dfrac{2\sqrt{2}}{3}
2
2 puncte
x∈(0,π2)⇒cos⁡x=223x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right) \Rightarrow \cos x = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Pentru m∈Rm \in \mathbb{R} se consideră matricea A=(m1011111m)A = \begin{pmatrix} m & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & m \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {mx+y=−1x+y+z=3x+y+mz=0\begin{cases} mx + y = -1 \\ x + y + z = 3 \\ x + y + mz = 0 \end{cases}, unde x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbb{R}. a) Calculați determinantul matricei AA. b) Rezolvați sistemul pentru m=0m = 0. c) Verificați dacă sistemul este incompatibil pentru m=1m = 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
1 punct
det⁡(A)=∣m1011111m∣=\det(A) = \begin{vmatrix} m & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & m \end{vmatrix} =
2
4 puncte
=m2+1−2m= m^2 + 1 - 2m
b)5 puncte
3
2 puncte
Pentru m=0m = 0: {y=−1x+y+z=3x+y=0\begin{cases} y = -1 \\ x + y + z = 3 \\ x + y = 0 \end{cases}
4
3 puncte
x=1x = 1, y=−1y = -1, z=3z = 3
c)5 puncte
5
2 puncte
Pentru m=1m = 1: {x+y=−1x+y+z=3x+y+z=0\begin{cases} x + y = -1 \\ x + y + z = 3 \\ x + y + z = 0 \end{cases}
6
3 puncte
Scăzând ultimele 22 ecuații se obține 0=30 = 3, deci sistemul este incompatibil
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție x∗y=(x−4)(y−4)+4x * y = (x - 4)(y - 4) + 4. a) Demonstrați că legea „∗*" este asociativă. b) Demonstrați că x∗y∈(4,+∞)x * y \in (4, +\infty), oricare ar fi x,y∈(4,+∞)x, y \in (4, +\infty). c) Calculați 1∗2∗3∗…∗20101 * 2 * 3 * \ldots * 2010.

Rezolvare

a)5 puncte
1
1 punct
(x∗y)∗z=((x−4)(y−4)+4−4)(z−4)+4=(x * y) * z = ((x - 4)(y - 4) + 4 - 4)(z - 4) + 4 =
2
1 punct
=((x−4)(y−4))(z−4)+4== ((x - 4)(y - 4))(z - 4) + 4 =
3
1 punct
=(x−4)(y−4)(z−4)+4= (x - 4)(y - 4)(z - 4) + 4
4
1 punct
x∗(y∗z)=(x−4)((y−4)(z−4)+4−4)+4=(x−4)(y−4)(z−4)+4x * (y * z) = (x - 4)((y - 4)(z - 4) + 4 - 4) + 4 = (x - 4)(y - 4)(z - 4) + 4
5
1 punct
=(x∗y)∗z= (x * y) * z, deci legea este asociativă
b)10 puncte
6
10 puncte
x>4⇒x−4>0x > 4 \Rightarrow x - 4 > 0, y>4⇒y−4>0y > 4 \Rightarrow y - 4 > 0, deci (x−4)(y−4)>0(x - 4)(y - 4) > 0, adică (x−4)(y−4)+4>4(x - 4)(y - 4) + 4 > 4, ∀x,y∈(4,+∞)\forall x, y \in (4, +\infty). x∗4=4x * 4 = 4, ∀x∈R\forall x \in \mathbb{R}, deci 1∗2∗3∗…∗2010=(1∗2∗3)∗4∗(5∗…∗2010)=41 * 2 * 3 * \ldots * 2010 = (1 * 2 * 3) * 4 * (5 * \ldots * 2010) = 4

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R∗→Rf : \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}, f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + \dfrac{2}{x}. a) Calculați f′(x)f'(x). b) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul A(2,5)A(2, 5). c) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
(x2)′=2x(x^2)' = 2x, (2x)′=−2x2\left(\dfrac{2}{x}\right)' = -\dfrac{2}{x^2}
2
3 puncte
f′(x)=2x−2x2f'(x) = 2x - \dfrac{2}{x^2}
b)5 puncte
3
2 puncte
y−f(2)=f′(2)(x−2)y - f(2) = f'(2)(x - 2)
4
2 puncte
f(2)=5f(2) = 5 și f′(2)=72f'(2) = \dfrac{7}{2}
5
1 punct
y=72x−2y = \dfrac{7}{2}x - 2
c)5 puncte
6
5 puncte
lim⁡x→0x<0(x2+2x)=−∞\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}} \left(x^2 + \dfrac{2}{x}\right) = -\infty sau lim⁡x→0x>0(x2+2x)=+∞\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} \left(x^2 + \dfrac{2}{x}\right) = +\infty, deci dreapta x=0x = 0 este asimptotă verticală la graficul funcției
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f,g:(0,+∞)→Rf, g : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xxf(x) = \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} și g(x)=2x(ln⁡x−2)g(x) = 2\sqrt{x}(\ln x - 2). a) Demonstrați că funcția gg este o primitivă a funcției ff. b) Calculați ∫14f(x) dx\displaystyle\int_1^4 f(x)\, dx. c) Calculați ∫1e22g(x)⋅f(x) dx\displaystyle\int_1^{e^2} 2^{g(x)} \cdot f(x)\, dx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
1 punct
gg derivabilă pe (0,+∞)(0, +\infty)
2
3 puncte
g′(x)=(2x(ln⁡x−2))′=22x(ln⁡x−2)+2x⋅1x=g'(x) = (2\sqrt{x}(\ln x - 2))' = \dfrac{2}{2\sqrt{x}}(\ln x - 2) + 2\sqrt{x} \cdot \dfrac{1}{x} =
3
1 punct
=f(x)= f(x), ∀x∈(0,+∞)\forall x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
4
3 puncte
∫14f(x) dx=g(x)∣14=2x(ln⁡x−2)∣14=\displaystyle\int_1^4 f(x)\, dx = g(x)\bigg|_1^4 = 2\sqrt{x}(\ln x - 2)\bigg|_1^4 =
5
2 puncte
=8ln⁡2−4= 8\ln 2 - 4
c)5 puncte
6
5 puncte
g(x)=2x(ln⁡x−2)g(x) = 2\sqrt{x}(\ln x - 2) și g′(x)=ln⁡xx⇒∫1e22g(x)g′(x) dx=2g(x)ln⁡2∣1e2=1516ln⁡2g'(x) = \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} \Rightarrow \displaystyle\int_1^{e^2} 2^{g(x)} g'(x)\, dx = \dfrac{2^{g(x)}}{\ln 2}\bigg|_1^{e^2} = \dfrac{15}{16\ln 2}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară Rezervă 2010 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Toamnă 2010 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac