BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară Rezervă 2012 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Ordonați crescător numerele 12\sqrt{12}, 222\sqrt{2} și 33.

Rezolvare

1
2 puncte
12>3\sqrt{12} > 3, 22<32\sqrt{2} < 3
2
3 puncte
22<3<122\sqrt{2} < 3 < \sqrt{12}
Exercițiul 2
Rezolvați sistemul de ecuații {x+y=5xy=6\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}.

Rezolvare

1
2 puncte
xx și yy sunt soluțiile ecuației t2−5t+6=0t^2 - 5t + 6 = 0
2
2 puncte
t1=2t_1 = 2, t2=3t_2 = 3
3
1 punct
S={(2,3),(3,2)}S = \{(2, 3), (3, 2)\}
Exercițiul 3
Se consideră funcțiile f:(−1,+∞)→Rf : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=log⁡2(x+1)f(x) = \log_2(x + 1) și g:R→(−1,+∞)g : \mathbb{R} \to (-1, +\infty), g(x)=2x−1g(x) = 2^x - 1. Calculați f(g(1))f(g(1)).

Rezolvare

1
2 puncte
g(1)=1g(1) = 1
2
3 puncte
f(g(1))=f(1)=1f(g(1)) = f(1) = 1
Exercițiul 4
Numărul submulțimilor cu două elemente ale unei mulțimi este egal cu 1010. Determinați numărul elementelor mulțimii.

Rezolvare

1
2 puncte
Cn2=10C_n^2 = 10
2
3 puncte
n=5n = 5
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele O(0,0)O(0, 0), A(5,1)A(5, 1), B(3,5)B(3, 5). Calculați lungimea medianei din vârful OO în triunghiul OABOAB.

Rezolvare

1
2 puncte
Fie MM mijlocul segmentului (AB)⇒M(4,3)(AB) \Rightarrow M(4, 3)
2
3 puncte
OM=5OM = 5
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul MNPMNP cu MP=6MP = 6, sin⁡N=35\sin N = \dfrac{3}{5} și sin⁡P=45\sin P = \dfrac{4}{5}. Calculați lungimea laturii MNMN.

Rezolvare

1
2 puncte
MNsin⁡P=MPsin⁡N\dfrac{MN}{\sin P} = \dfrac{MP}{\sin N}
2
3 puncte
MN=8MN = 8

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră sistemul de ecuații {mx−2y+z=12x−my−3z=3x−y+2z=4\begin{cases} mx - 2y + z = 1 \\ 2x - my - 3z = 3 \\ x - y + 2z = 4 \end{cases}, unde m∈Rm \in \mathbb{R}. a) Arătați că suma elementelor de pe diagonala principală a matricei sistemului este egală cu 22. b) Determinați valorile reale ale lui mm pentru care matricea sistemului are determinantul diferit de zero. c) Pentru m=1m = 1, arătați că y12=x1⋅z1y_1^2 = x_1 \cdot z_1, unde (x1,y1,z1)(x_1, y_1, z_1) este soluția sistemului.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Suma elementelor de pe diagonala principală a matricei este egală cu m+(−m)+2m + (-m) + 2
2
2 puncte
Finalizare: suma este egală cu 22
b)5 puncte
3
3 puncte
b) det⁡A=−2m2−2m+12\det A = -2m^2 - 2m + 12, unde AA este matricea sistemului
4
2 puncte
m∈R∖{−3,2}m \in \mathbb{R} \setminus \{-3, 2\}
c)5 puncte
5
4 puncte
c) Pentru m=1⇒x1=4m = 1 \Rightarrow x_1 = 4, y1=2y_1 = 2, z1=1z_1 = 1
6
1 punct
Finalizare: y12=4=x1⋅z1y_1^2 = 4 = x_1 \cdot z_1
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3+mX2+mX+1f = X^3 + mX^2 + mX + 1, unde m∈Rm \in \mathbb{R}. a) Pentru m=0m = 0, calculați restul împărțirii polinomului ff la X−1X - 1. b) Arătați că polinomul ff este divizibil cu X+1X + 1, pentru orice număr real mm. c) Determinați valorile reale ale lui mm pentru care polinomul ff are trei rădăcini reale.

Rezolvare

1
2 puncte
a) Pentru m=0⇒f=X3+1m = 0 \Rightarrow f = X^3 + 1
2
3 puncte
Restul este egal cu f(1)=2f(1) = 2
3
3 puncte
b) f(−1)=−1+m−m+1=0f(-1) = -1 + m - m + 1 = 0, deci X+1∣fX + 1 \mid f
4
2 puncte
c) f=(X+1)(X2+(m−1)X+1)f = (X + 1)(X^2 + (m - 1)X + 1)
5
2 puncte
ff are trei rădăcini reale ⇔X2+(m−1)X+1\Leftrightarrow X^2 + (m - 1)X + 1 are două rădăcini reale ⇔m2−2m−3≥0\Leftrightarrow m^2 - 2m - 3 \geq 0
6
1 punct
m∈(−∞,−1]∪[3,+∞)m \in (-\infty, -1] \cup [3, +\infty)

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x2−1x2+2f(x) = \dfrac{2x^2 - 1}{x^2 + 2}. a) Arătați că f′(x)=10x(x2+2)2f'(x) = \dfrac{10x}{(x^2 + 2)^2}, pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Demonstrați că −12≤f(x)≤13-\dfrac{1}{2} \leq f(x) \leq \dfrac{1}{3}, pentru orice x∈[0,1]x \in [0, 1].

Rezolvare

1
3 puncte
a) f′(x)=4x(x2+2)−2x(2x2−1)(x2+2)2f'(x) = \dfrac{4x(x^2 + 2) - 2x(2x^2 - 1)}{(x^2 + 2)^2}
2
2 puncte
=10x(x2+2)2= \dfrac{10x}{(x^2 + 2)^2}
3
3 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞2x2−1x2+2=2\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2 - 1}{x^2 + 2} = 2, ecuația asimptotei orizontale este y=2y = 2
4
2 puncte
c) f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru orice x∈[0,1]x \in [0, 1], deci ff este crescătoare pe [0,1][0, 1]
5
3 puncte
0≤x≤1⇒f(0)≤f(x)≤f(1)⇒−12≤f(x)≤130 \leq x \leq 1 \Rightarrow f(0) \leq f(x) \leq f(1) \Rightarrow -\dfrac{1}{2} \leq f(x) \leq \dfrac{1}{3}, pentru orice x∈[0,1]x \in [0, 1]
Exercițiul 2
Pentru fiecare număr natural nenul nn se consideră numărul In=∫01xnx+1 dxI_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{x + 1} \, dx. a) Calculați I1I_1. b) Arătați că In+In+1=1n+1I_n + I_{n+1} = \dfrac{1}{n + 1}, pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. c) Demonstrați că 14026≤I2012≤12013\dfrac{1}{4026} \leq I_{2012} \leq \dfrac{1}{2013}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) I1=∫01xx+1 dx=∫01(1−1x+1)dxI_1 = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x}{x + 1} \, dx = \int_0^1 \left(1 - \dfrac{1}{x + 1}\right) dx
2
3 puncte
=(x−ln⁡(x+1))∣01=1−ln⁡2= \left.(x - \ln(x + 1))\right|_0^1 = 1 - \ln 2
b)5 puncte
3
2 puncte
b) In+In+1=∫01(xnx+1+xn+1x+1)dxI_n + I_{n+1} = \displaystyle\int_0^1 \left(\dfrac{x^n}{x + 1} + \dfrac{x^{n+1}}{x + 1}\right) dx
4
3 puncte
=∫01xn(x+1)x+1 dx=1n+1= \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n(x + 1)}{x + 1} \, dx = \dfrac{1}{n + 1}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x20122≤x2012x+1≤x2012\dfrac{x^{2012}}{2} \leq \dfrac{x^{2012}}{x + 1} \leq x^{2012} pentru orice x∈[0,1]x \in [0, 1]
6
1 punct
∫01x20122 dx≤I2012≤∫01x2012 dx\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^{2012}}{2} \, dx \leq I_{2012} \leq \int_0^1 x^{2012} \, dx
7
2 puncte
14026≤I2012≤12013\dfrac{1}{4026} \leq I_{2012} \leq \dfrac{1}{2013}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară Rezervă 2012 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Toamnă 2012 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac