BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară Rezervă 2014 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră numărul complex z=2+iz = 2 + i. Calculați z2z^2.

Rezolvare

1
3 puncte
z2=(2+i)2=4+4i+i2=z^2 = (2 + i)^2 = 4 + 4i + i^2 =
2
2 puncte
=3+4i= 3 + 4i
Exercițiul 2
Determinați numărul real mm știind că punctul M(m,1)M(m, 1) aparține graficului funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x−3f(x) = x - 3.

Rezolvare

1
2 puncte
f(m)=1f(m) = 1
2
3 puncte
m−3=1⇔m=4m - 3 = 1 \Leftrightarrow m = 4
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(x−3)=2\log_3(x - 3) = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
x−3=9x - 3 = 9
2
2 puncte
x=12x = 12, care verifică ecuația
Exercițiul 4
Determinați numărul submulțimilor cu număr impar de elemente ale mulțimii A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\}.

Rezolvare

1
3 puncte
Numărul submulțimilor cu un număr impar de elemente ale unei mulțimi cu 44 elemente este egal cu C41+C43=C_4^1 + C_4^3 =
2
2 puncte
=8= 8
Exercițiul 5
În dreptunghiul ABCDABCD se notează cu MM mijlocul laturii ADAD. Arătați că MB⃗+MC⃗=2AB⃗\vec{MB} + \vec{MC} = 2\vec{AB}.

Rezolvare

1
2 puncte
MB⃗=MA⃗+AB⃗\vec{MB} = \vec{MA} + \vec{AB}
2
3 puncte
MC⃗=MD⃗+DC⃗⇒MB⃗+MC⃗=2AB⃗\vec{MC} = \vec{MD} + \vec{DC} \Rightarrow \vec{MB} + \vec{MC} = 2\vec{AB}
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC dreptunghic în AA. Arătați că sin⁡B⋅cos⁡C+sin⁡C⋅cos⁡B=1\sin B \cdot \cos C + \sin C \cdot \cos B = 1.

Rezolvare

1
2 puncte
cos⁡C=sin⁡B\cos C = \sin B, sin⁡C=cos⁡B\sin C = \cos B
2
3 puncte
sin⁡B⋅cos⁡C+sin⁡C⋅cos⁡B=sin⁡2B+cos⁡2B=1\sin B \cdot \cos C + \sin C \cdot \cos B = \sin^2 B + \cos^2 B = 1

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(020141−1)A = \begin{pmatrix} 0 & 2014 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} și I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. a) Calculați det⁡A\det A. b) Arătați că A+A⋅A=2014I2A + A \cdot A = 2014 I_2. c) Rezolvați în M2(R)\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) ecuația matriceală A⋅X=2014I2A \cdot X = 2014 I_2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡A=∣020141−1∣=0⋅(−1)−1⋅2014=\det A = \begin{vmatrix} 0 & 2014 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 0 \cdot (-1) - 1 \cdot 2014 =
2
2 puncte
=−2014= -2014
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A⋅A=(020141−1)⋅(020141−1)=(2014−2014−12015)A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 2014 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 2014 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2014 & -2014 \\ -1 & 2015 \end{pmatrix}
4
2 puncte
A+A⋅A=(020141−1)+(2014−2014−12015)=(2014002014)=2014I2A + A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 2014 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2014 & -2014 \\ -1 & 2015 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2014 & 0 \\ 0 & 2014 \end{pmatrix} = 2014 I_2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A−1=12014(1201410)A^{-1} = \frac{1}{2014} \begin{pmatrix} 1 & 2014 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
6
2 puncte
X=2014A−1=(1201410)X = 2014 A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2014 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−6X2+mX−6f = X^3 - 6X^2 + mX - 6, unde mm este număr real. a) Calculați f(0)f(0). b) Arătați că 1x1x2+1x1x3+1x2x3=1\frac{1}{x_1 x_2} + \frac{1}{x_1 x_3} + \frac{1}{x_2 x_3} = 1 știind că x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff. c) Determinați numărul real mm știind că rădăcinile polinomului ff sunt trei numere întregi consecutive.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f(0)=03−6⋅02+m⋅0−6=f(0) = 0^3 - 6 \cdot 0^2 + m \cdot 0 - 6 =
2
3 puncte
=−6= -6
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x1+x2+x3=6x_1 + x_2 + x_3 = 6, x1x2x3=6x_1 x_2 x_3 = 6
4
3 puncte
1x1x2+1x1x3+1x2x3=x1+x2+x3x1x2x3=66=1\frac{1}{x_1 x_2} + \frac{1}{x_1 x_3} + \frac{1}{x_2 x_3} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{x_1 x_2 x_3} = \frac{6}{6} = 1
c)5 puncte
5
2 puncte
c) ff are rădăcinile x1=k−1x_1 = k - 1, x2=kx_2 = k și x3=k+1x_3 = k + 1 unde k∈Zk \in \mathbb{Z}, deci x1+x2+x3=3k⇒k=2x_1 + x_2 + x_3 = 3k \Rightarrow k = 2
6
3 puncte
x1x2+x1x3+x2x3=1⋅2+1⋅3+2⋅3⇒m=11x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \Rightarrow m = 11

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=xx2+1f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}. a) Arătați că f′(x)=(1−x)(1+x)(x2+1)2f'(x) = \frac{(1 - x)(1 + x)}{(x^2 + 1)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x0=1x_0 = 1, situat pe graficul funcției ff. c) Determinați punctele de extrem ale funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=x′⋅(x2+1)−x⋅(x2+1)′(x2+1)2=f'(x) = \frac{x' \cdot (x^2 + 1) - x \cdot (x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} =
2
3 puncte
=1−x2(x2+1)2=(1−x)(1+x)(x2+1)2= \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{(1 - x)(1 + x)}{(x^2 + 1)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x - 1)
4
3 puncte
f(1)=12f(1) = \frac{1}{2}, f′(1)=0f'(1) = 0, deci ecuația tangentei este y=12y = \frac{1}{2}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)=0⇔x=1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 sau x=−1x = -1
6
2 puncte
f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1), f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(−1,1)x \in (-1, 1), f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty). Punctele de extrem sunt x=−1x = -1 și x=1x = 1
7
1 punct
x=−1x = -1 este punct de minim local și x=1x = 1 este punct de maxim local
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→Rf : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=1x+1+1x+2+1x+3f(x) = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 3}. a) Arătați că ∫01(f(x)−1x+2−1x+3)dx=ln⁡2\displaystyle\int_0^1 \left(f(x) - \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3}\right) dx = \ln 2. b) Arătați că orice primitivă a funcției ff este concavă pe intervalul (−1,+∞)(-1, +\infty). c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x = 0 și x=nx = n, are aria mai mare sau egală cu ln⁡4\ln 4, pentru orice număr natural nenul nn.

Rezolvare

1
2 puncte
a) ∫01(f(x)−1x+2−1x+3)dx=∫011x+1 dx=\displaystyle\int_0^1 \left(f(x) - \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3}\right) dx = \int_0^1 \frac{1}{x + 1} \, dx =
2
3 puncte
=ln⁡(x+1)∣01=ln⁡2= \ln(x + 1) \Big|_0^1 = \ln 2
3
2 puncte
b) FF este o primitivă a lui f⇒F′′(x)=f′(x)=−1(x+1)2−1(x+2)2−1(x+3)2f \Rightarrow F''(x) = f'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2} - \frac{1}{(x+2)^2} - \frac{1}{(x+3)^2}
4
3 puncte
F′′(x)<0F''(x) < 0 pentru orice x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty), deci FF este concavă pe (−1,+∞)(-1, +\infty)
5
2 puncte
c) A=∫0n∣f(x)∣ dx=∫0n(1x+1+1x+2+1x+3)dx=ln⁡((n+1)(n+2)(n+3))∣0n=ln⁡(n+1)(n+2)(n+3)6\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^n |f(x)| \, dx = \int_0^n \left(\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+3}\right) dx = \ln\left((n+1)(n+2)(n+3)\right) \Big|_0^n = \ln \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}
6
2 puncte
n≥1⇒(n+1)(n+2)(n+3)≥24⇒A≥ln⁡4n \geq 1 \Rightarrow (n+1)(n+2)(n+3) \geq 24 \Rightarrow \mathcal{A} \geq \ln 4 pentru orice număr natural nenul nn

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară Rezervă 2014 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Vară Rezervă 2014 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac