BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară Rezervă 2015 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculați (2−3i)(2+3i)(2 - 3i)(2 + 3i), unde i2=−1i^2 = -1.

Rezolvare

1
3 puncte
(2−3i)(2+3i)=4−9i2=(2 - 3i)(2 + 3i) = 4 - 9i^2 =
2
2 puncte
=13= 13
Exercițiul 2
Calculați f(f(3))f(f(3)), unde f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1.

Rezolvare

1
2 puncte
f(3)=5f(3) = 5
2
3 puncte
f(f(3))=f(5)=9f(f(3)) = f(5) = 9
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(x2+17)=log⁡381\log_3(x^2 + 17) = \log_3 81.

Rezolvare

1
2 puncte
x2+17=81⇔x2=64x^2 + 17 = 81 \Leftrightarrow x^2 = 64
2
3 puncte
x1=−8x_1 = -8 și x2=8x_2 = 8, care verifică ecuația
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 55.

Rezolvare

1
1 punct
Sunt 9090 numere naturale de două cifre, deci sunt 9090 de cazuri posibile
2
2 puncte
Sunt 1818 numere naturale de două cifre, divizibile cu 55, deci sunt 1818 cazuri favorabile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=1890=15p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{18}{90} = \frac{1}{5}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,a)A(1, a), B(3,2)B(3, 2) și C(2,1)C(2, 1). Determinați numărul real aa pentru care punctele AA, BB și CC sunt coliniare.

Rezolvare

1
2 puncte
mAB=2−a2m_{AB} = \frac{2 - a}{2} și mBC=1m_{BC} = 1
2
3 puncte
mAB=mBC⇔a=0m_{AB} = m_{BC} \Leftrightarrow a = 0
Exercițiul 6
Se consideră E(x)=sin⁡x3+cos⁡x2E(x) = \sin \frac{x}{3} + \cos \frac{x}{2}, unde xx este număr real. Arătați că E(π2)=1+22E\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}.

Rezolvare

1
2 puncte
E(π2)=sin⁡π6+cos⁡π4=E\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{6} + \cos \frac{\pi}{4} =
2
3 puncte
=12+22=1+22= \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(12a2a4)A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 2a \\ 2a & 4 \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că A(1)+A(−1)=2A(0)A(1) + A(-1) = 2A(0). b) Determinați numerele reale aa pentru care det⁡(A(a))=0\det(A(a)) = 0. c) Rezolvați în mulțimea M2(R)\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) ecuația A(2)⋅X=A(8)A(2) \cdot X = A(8).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) A(1)=(1224)A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, A(−1)=(1−2−24)A(-1) = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}, A(0)=(1004)A(0) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}
2
2 puncte
A(1)+A(−1)=(2008)=2(1004)=2A(0)A(1) + A(-1) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = 2A(0)
b)5 puncte
3
3 puncte
b) det⁡(A(a))=∣12a2a4∣=4−4a2\det(A(a)) = \begin{vmatrix} 1 & 2a \\ 2a & 4 \end{vmatrix} = 4 - 4a^2
4
2 puncte
4−4a2=0⇔a1=−14 - 4a^2 = 0 \Leftrightarrow a_1 = -1 și a2=1a_2 = 1
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A(2)=(1444)A(2) = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}, det⁡(A(2))=−12≠0\det(A(2)) = -12 \neq 0, deci (A(2))−1=(−131313−112)(A(2))^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{12} \end{pmatrix}
6
2 puncte
X=(A(2))−1⋅A(8)=(5−4−15)X = (A(2))^{-1} \cdot A(8) = \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=2xy−6x−6y+21x \circ y = 2xy - 6x - 6y + 21. a) Arătați că (−3)∘3=3(-3) \circ 3 = 3. b) Arătați că x∘y=2(x−3)(y−3)+3x \circ y = 2(x - 3)(y - 3) + 3, pentru orice numere reale xx și yy. c) Calculați 1∘2∘3∘…∘20151 \circ \sqrt{2} \circ \sqrt{3} \circ \ldots \circ \sqrt{2015}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) (−3)∘3=2⋅(−3)⋅3−6⋅(−3)−6⋅3+21=(-3) \circ 3 = 2 \cdot (-3) \cdot 3 - 6 \cdot (-3) - 6 \cdot 3 + 21 =
2
2 puncte
=−18+18−18+21=3= -18 + 18 - 18 + 21 = 3
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∘y=2xy−6x−6y+18+3=x \circ y = 2xy - 6x - 6y + 18 + 3 =
4
3 puncte
=2x(y−3)−6(y−3)+3=2(x−3)(y−3)+3= 2x(y - 3) - 6(y - 3) + 3 = 2(x - 3)(y - 3) + 3, pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x∘3=3x \circ 3 = 3 și 3∘y=33 \circ y = 3, pentru xx și yy numere reale
6
3 puncte
1∘2∘3∘…∘2015=(1∘2∘3∘…∘8)∘3∘(10∘11∘…∘2015)=3∘(10∘11∘…∘2015)=31 \circ \sqrt{2} \circ \sqrt{3} \circ \ldots \circ \sqrt{2015} = (1 \circ \sqrt{2} \circ \sqrt{3} \circ \ldots \circ \sqrt{8}) \circ 3 \circ (\sqrt{10} \circ \sqrt{11} \circ \ldots \circ \sqrt{2015}) = 3 \circ (\sqrt{10} \circ \sqrt{11} \circ \ldots \circ \sqrt{2015}) = 3

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3ex+x2f(x) = 3e^x + x^2. a) Arătați că lim⁡x→0f(x)−f(0)x=3\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = 3. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=0x = 0, situat pe graficul funcției ff. c) Arătați că funcția ff este convexă pe R\mathbb{R}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) lim⁡x→0f(x)−f(0)x=f′(0)\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = f'(0)
2
3 puncte
f′(x)=3ex+2xf'(x) = 3e^x + 2x și f′(0)=3f'(0) = 3, deci lim⁡x→0f(x)−f(0)x=3\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = 3
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(0)=3f(0) = 3, f′(0)=3f'(0) = 3
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0)⇒y=3x+3y - f(0) = f'(0)(x - 0) \Rightarrow y = 3x + 3
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′′(x)=3ex+2f''(x) = 3e^x + 2, x∈Rx \in \mathbb{R}
6
3 puncte
f′′(x)>0f''(x) > 0, pentru orice număr real xx, deci ff este convexă pe R\mathbb{R}
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x+1xf(x) = x + \frac{1}{x}. a) Arătați că ∫13(f(x)−1x)dx=4\displaystyle\int_1^3 \left(f(x) - \frac{1}{x}\right) dx = 4. b) Arătați că ∫12(f(x)−1x)ex dx=e2\displaystyle\int_1^2 \left(f(x) - \frac{1}{x}\right) e^x \, dx = e^2. c) Determinați numărul real aa, a>1a > 1, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=1x = 1 și x=ax = a, are aria egală cu 4+ln⁡a4 + \ln a.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫13(f(x)−1x)dx=∫13x dx=12x2∣13=\displaystyle\int_1^3 \left(f(x) - \frac{1}{x}\right) dx = \int_1^3 x \, dx = \frac{1}{2} x^2 \Big|_1^3 =
2
2 puncte
=12(9−1)=4= \frac{1}{2}(9 - 1) = 4
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫12(f(x)−1x)ex dx=∫12xex dx=xex∣12−∫12ex dx=\displaystyle\int_1^2 \left(f(x) - \frac{1}{x}\right) e^x \, dx = \int_1^2 x e^x \, dx = x e^x \Big|_1^2 - \int_1^2 e^x \, dx =
4
2 puncte
=2e2−e−ex∣12=e2= 2e^2 - e - e^x \Big|_1^2 = e^2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A=∫1a∣f(x)∣ dx=∫1a(x+1x)dx=(x22+ln⁡x)∣1a=a2−12+ln⁡a\mathcal{A} = \displaystyle\int_1^a |f(x)| \, dx = \int_1^a \left(x + \frac{1}{x}\right) dx = \left(\frac{x^2}{2} + \ln x\right) \Big|_1^a = \frac{a^2 - 1}{2} + \ln a
6
2 puncte
a2−12+ln⁡a=4+ln⁡a⇔a2=9\frac{a^2 - 1}{2} + \ln a = 4 + \ln a \Leftrightarrow a^2 = 9 și cum a>1a > 1, obținem a=3a = 3

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2015 — Tehnologic

Următor →

Bac Vară Rezervă 2015 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac