BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară Rezervă 2017 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră numerele complexe z1=5+2iz_1 = 5 + 2i și z2=3−3iz_2 = 3 - 3i. Arătați că 3z1+2z2=213z_1 + 2z_2 = 21.

Rezolvare

1
3 puncte
3z1+2z2=3(5+2i)+2(3−3i)=15+6i+6−6i=3z_1 + 2z_2 = 3(5 + 2i) + 2(3 - 3i) = 15 + 6i + 6 - 6i =
2
2 puncte
=15+6=21= 15 + 6 = 21
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+1f(x) = x + 1 și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=x2−x+2g(x) = x^2 - x + 2. Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor celor două funcții.

Rezolvare

1
2 puncte
x+1=x2−x+2⇔x2−2x+1=0x + 1 = x^2 - x + 2 \Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 = 0
2
3 puncte
x=1x = 1
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x2+3=3⋅33x3^{x^2 + 3} = 3 \cdot 3^{3x}.

Rezolvare

1
3 puncte
3x2+3=31+3x⇔x2+3=1+3x⇔x2−3x+2=03^{x^2+3} = 3^{1+3x} \Leftrightarrow x^2 + 3 = 1 + 3x \Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 = 0
2
2 puncte
x=1x = 1 sau x=2x = 2
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 33 și cu 55.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile
2
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre, care sunt divizibile cu 33 și cu 55, are 66 elemente, deci sunt 66 cazuri favorabile
3
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=690=115p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{6}{90} = \dfrac{1}{15}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,2)A(0, 2), B(2,4)B(2, 4) și C(m,0)C(m, 0), unde mm este număr real. Determinați numărul real mm, știind că punctele AA, BB și CC sunt coliniare.

Rezolvare

1
2 puncte
Ecuația dreptei ABAB este y=x+2y = x + 2
2
3 puncte
Punctul CC aparține dreptei AB⇔m=−2AB \Leftrightarrow m = -2
Exercițiul 6
Calculați lungimea laturii BCBC a triunghiului ABCABC, știind că AB=4AB = 4, AC=8AC = 8 și A=π3A = \dfrac{\pi}{3}.

Rezolvare

1
3 puncte
BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡A=16+64−2⋅4⋅8⋅12=48BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A = 16 + 64 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \dfrac{1}{2} = 48
2
2 puncte
BC=43BC = 4\sqrt{3}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(2−x0x−10102(1−x)02x−1)A(x) = \begin{pmatrix} 2 - x & 0 & x - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2(1 - x) & 0 & 2x - 1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(2))=2\det(A(2)) = 2. b) Demonstrați că det⁡(A(x)⋅A(−x))≤0\det(A(x) \cdot A(-x)) \leq 0, pentru orice număr real xx. c) Arătați că, dacă numerele naturale mm și nn verifică relația A(m)⋅A(n)=A(2)A(m) \cdot A(n) = A(2), atunci m+n=3m + n = 3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
A(2)=(001010−203)A(2) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 3 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(2))=∣001010−203∣=\det(A(2)) = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 3 \end{vmatrix} =
2
2 puncte
=0+0+0−(−2)−0−0=2= 0 + 0 + 0 - (-2) - 0 - 0 = 2
b)5 puncte
3
3 puncte
A(x)⋅A(−x)=(2+x20−x2−10102+2x20−2x2−1)A(x) \cdot A(-x) = \begin{pmatrix} 2 + x^2 & 0 & -x^2 - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 + 2x^2 & 0 & -2x^2 - 1 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(x)⋅A(−x))=∣2+x20−x2−10102+2x20−2x2−1∣=\det(A(x) \cdot A(-x)) = \begin{vmatrix} 2 + x^2 & 0 & -x^2 - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 + 2x^2 & 0 & -2x^2 - 1 \end{vmatrix} =
4
2 puncte
=(x2+2)(−2x2−1)−(−x2−1)(2x2+2)=−x2≤0= (x^2 + 2)(-2x^2 - 1) - (-x^2 - 1)(2x^2 + 2) = -x^2 \leq 0, pentru orice număr real xx
c)5 puncte
5
3 puncte
A(m)⋅A(n)=(2−mn0mn−10102(1−mn)02mn−1)=A(mn)A(m) \cdot A(n) = \begin{pmatrix} 2 - mn & 0 & mn - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2(1 - mn) & 0 & 2mn - 1 \end{pmatrix} = A(mn)
6
2 puncte
A(mn)=A(2)A(mn) = A(2), deci mn=2mn = 2 și, cum mm și nn sunt numere naturale, obținem m+n=3m + n = 3
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3+2X2+aX+1f = X^3 + 2X^2 + aX + 1, unde aa este număr real. a) Determinați numărul real aa, știind că f(1)=0f(1) = 0. b) Pentru a=2a = 2, calculați câtul și restul împărțirii polinomului ff la polinomul X2+X+1X^2 + X + 1. c) Determinați numerele reale aa pentru care rădăcinile polinomului ff au modulele egale.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
f(1)=0⇔13+2⋅12+a⋅1+1=0f(1) = 0 \Leftrightarrow 1^3 + 2 \cdot 1^2 + a \cdot 1 + 1 = 0
2
3 puncte
a=−4a = -4
b)5 puncte
3
3 puncte
f=X3+2X2+2X+1f = X^3 + 2X^2 + 2X + 1 și câtul este X+1X + 1
4
2 puncte
Restul este 00
c)5 puncte
5
2 puncte
x1x2x3=−1x_1 x_2 x_3 = -1 și ∣x1∣=∣x2∣=∣x3∣⇒∣x1∣=∣x2∣=∣x3∣=1|x_1| = |x_2| = |x_3| \Rightarrow |x_1| = |x_2| = |x_3| = 1
6
3 puncte
Cum ff are cel puțin o rădăcină reală, una dintre rădăcini este egală cu −1-1 sau cu 11. Dacă x1=−1x_1 = -1, obținem f(−1)=0f(-1) = 0, deci a=2a = 2, ceea ce convine, deoarece ∣x2∣=∣x3∣=1|x_2| = |x_3| = 1. Dacă x1=1x_1 = 1, obținem f(1)=0f(1) = 0, deci a=−4a = -4, ceea ce nu convine, deoarece ∣x2∣≠∣x3∣|x_2| \neq |x_3|

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→Rf : (-2, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ex−1−ln⁡(x+2)f(x) = e^x - 1 - \ln(x + 2). a) Arătați că f′(x)=ex−1x+2f'(x) = e^x - \dfrac{1}{x + 2}, x∈(−2,+∞)x \in (-2, +\infty). b) Demonstrați că funcția ff este convexă pe (−2,+∞)(-2, +\infty). c) Calculați lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
f′(x)=(ex)′−1′−(ln⁡(x+2))′=f'(x) = (e^x)' - 1' - (\ln(x + 2))' =
2
3 puncte
=ex−0−(x+2)′x+2=ex−1x+2= e^x - 0 - \dfrac{(x + 2)'}{x + 2} = e^x - \dfrac{1}{x + 2}, x∈(−2,+∞)x \in (-2, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
f′′(x)=ex+1(x+2)2f''(x) = e^x + \dfrac{1}{(x + 2)^2}, x∈(−2,+∞)x \in (-2, +\infty)
4
3 puncte
f′′(x)≥0f''(x) \geq 0, deci funcția ff este convexă pe (−2,+∞)(-2, +\infty)
c)5 puncte
5
2 puncte
lim⁡x→+∞ex−1x=lim⁡x→+∞ex=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty și lim⁡x→+∞ln⁡(x+2)x=lim⁡x→+∞1x+2=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x + 2)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x + 2} = 0
6
3 puncte
lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞(ex−1x−ln⁡(x+2)x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{e^x - 1}{x} - \dfrac{\ln(x + 2)}{x}\right) = +\infty
Exercițiul 2
Pentru fiecare număr natural nenul nn, se consideră numărul In=∫1exln⁡nx dxI_n = \displaystyle\int_1^e x \ln^n x \, dx. a) Arătați că ∫1ex dx=e2−12\displaystyle\int_1^e x \, dx = \dfrac{e^2 - 1}{2}. b) Demonstrați că In+1≤InI_{n+1} \leq I_n, pentru orice număr natural nenul nn. c) Demonstrați că 2In+1+(n+1)In=e22I_{n+1} + (n + 1)I_n = e^2, pentru orice număr natural nenul nn.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫1ex dx=x22∣1e=\displaystyle\int_1^e x \, dx = \left.\dfrac{x^2}{2}\right|_1^e =
2
2 puncte
=e22−12=e2−12= \dfrac{e^2}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{e^2 - 1}{2}
b)5 puncte
3
2 puncte
x∈[1,e]⇒0≤ln⁡x≤1⇒ln⁡x−1≤0x \in [1, e] \Rightarrow 0 \leq \ln x \leq 1 \Rightarrow \ln x - 1 \leq 0
4
3 puncte
In+1−In=∫1exln⁡nx(ln⁡x−1) dx≤0I_{n+1} - I_n = \displaystyle\int_1^e x \ln^n x (\ln x - 1) \, dx \leq 0, deci In+1≤InI_{n+1} \leq I_n, pentru orice număr natural nenul nn
c)5 puncte
5
3 puncte
In+1=∫1exln⁡n+1x dx=x22ln⁡n+1x∣1e−n+12∫1exln⁡nx dx=I_{n+1} = \displaystyle\int_1^e x \ln^{n+1} x \, dx = \dfrac{x^2}{2} \ln^{n+1} x \bigg|_1^e - \dfrac{n+1}{2} \int_1^e x \ln^n x \, dx =
6
2 puncte
=e22−n+12In= \dfrac{e^2}{2} - \dfrac{n+1}{2} I_n, deci 2In+1+(n+1)In=e22I_{n+1} + (n + 1)I_n = e^2, pentru orice număr natural nenul nn

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2017 — Tehnologic (Varianta 4)

Următor →

Bac Vară Rezervă 2017 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac