BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară Rezervă 2018 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 1+i+(i−1)(1+i)−(i−1)=01 + i + (i - 1)(1 + i) - (i - 1) = 0, unde i2=−1i^2 = -1.

Rezolvare

1
3 puncte
1+i+(i−1)(1+i)−(i−1)=1+i+(i2−1)−i+1=1 + i + (i - 1)(1 + i) - (i - 1) = 1 + i + (i^2 - 1) - i + 1 =
2
2 puncte
=1+i−2−i+1=0= 1 + i - 2 - i + 1 = 0
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−2x+1f(x) = x^2 - 2x + 1. Calculați (f∘f)(1)(f \circ f)(1).

Rezolvare

1
2 puncte
f(1)=0f(1) = 0
2
3 puncte
f(f(1))=f(0)=1f(f(1)) = f(0) = 1
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x2−5x+7)=log⁡23\log_2(x^2 - 5x + 7) = \log_2 3.

Rezolvare

1
2 puncte
x2−5x+7=3⇒x2−5x+4=0x^2 - 5x + 7 = 3 \Rightarrow x^2 - 5x + 4 = 0
2
3 puncte
x=1x = 1 sau x=4x = 4, care convin
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale pare de două cifre, acesta să fie divizibil cu 55.

Rezolvare

1
1 punct
Mulțimea numerelor naturale pare de două cifre are 4545 de elemente, deci sunt 4545 de cazuri posibile
2
2 puncte
În mulțimea numerelor naturale pare de două cifre sunt 99 numere divizibile cu 55, deci sunt 99 cazuri favorabile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=945=15p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{9}{45} = \dfrac{1}{5}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,3)A(2, 3), B(−2,1)B(-2, 1), C(4,3)C(4, 3) și D(8,5)D(8, 5). Demonstrați că patrulaterul ABCDABCD este paralelogram.

Rezolvare

1
2 puncte
xA+xC=6x_A + x_C = 6, xB+xD=6⇒xA+xC=xB+xDx_B + x_D = 6 \Rightarrow x_A + x_C = x_B + x_D
2
3 puncte
yA+yC=6y_A + y_C = 6, yB+yD=6⇒yA+yC=yB+yD⇒y_B + y_D = 6 \Rightarrow y_A + y_C = y_B + y_D \Rightarrow segmentele ACAC și BDBD au același mijloc, deci ABCDABCD este paralelogram
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡x+3cos⁡x=22\sin x + 3\cos x = 2\sqrt{2}, știind că tg⁡x=1\tg x = 1 și x∈(0,π2)x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right).

Rezolvare

1
2 puncte
Cum x∈(0,π2)x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right) și tg⁡x=1\tg x = 1, obținem x=π4x = \dfrac{\pi}{4}
2
3 puncte
sin⁡π4+3cos⁡π4=22+322=422=22\sin\dfrac{\pi}{4} + 3\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{3\sqrt{2}}{2} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea X(a)=(a51a)X(a) = \begin{pmatrix} a & 5 \\ 1 & a \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(X(1))=−4\det(X(1)) = -4. b) Demonstrați că X(−a)+X(a)=X(−2018)+X(2018)X(-a) + X(a) = X(-2018) + X(2018), pentru orice număr real aa. c) Determinați perechile de numere reale (a,b)(a, b) pentru care X(a)⋅X(b)=X(a)+X(b)X(a) \cdot X(b) = X(a) + X(b).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
X(1)=(1511)X(1) = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, deci det⁡(X(1))=∣1511∣=1⋅1−1⋅5=\det(X(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 1 \cdot 5 =
2
2 puncte
=1−5=−4= 1 - 5 = -4
b)5 puncte
3
3 puncte
X(−a)+X(a)=(−a51−a)+(a51a)=(01020)=X(-a) + X(a) = \begin{pmatrix} -a & 5 \\ 1 & -a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a & 5 \\ 1 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 10 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} =
4
2 puncte
=(−201851−2018)+(2018512018)=X(−2018)+X(2018)= \begin{pmatrix} -2018 & 5 \\ 1 & -2018 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2018 & 5 \\ 1 & 2018 \end{pmatrix} = X(-2018) + X(2018), pentru orice număr real aa
c)5 puncte
5
3 puncte
X(a)⋅X(b)=(ab+55(a+b)a+bab+5)X(a) \cdot X(b) = \begin{pmatrix} ab + 5 & 5(a + b) \\ a + b & ab + 5 \end{pmatrix} și X(a)+X(b)=(a+b102a+b)X(a) + X(b) = \begin{pmatrix} a + b & 10 \\ 2 & a + b \end{pmatrix}
6
2 puncte
Cum a+b=2a + b = 2 și ab=−3ab = -3, obținem perechile (−1,3)(-1, 3) și (3,−1)(3, -1)
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−2X2−X+mf = X^3 - 2X^2 - X + m, unde mm este număr real. a) Pentru m=2m = 2, arătați că f(2)=0f(2) = 0. b) Arătați că, dacă polinomul ff se divide cu X+1X + 1, atunci polinomul ff se divide cu X2−3X+2X^2 - 3X + 2. c) Determinați numărul real nenul mm, știind că x1x2x3+x2x3x1+x3x1x2=6\dfrac{x_1}{x_2 x_3} + \dfrac{x_2}{x_3 x_1} + \dfrac{x_3}{x_1 x_2} = 6, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f=X3−2X2−X+2⇒f(2)=23−2⋅22−2+2=f = X^3 - 2X^2 - X + 2 \Rightarrow f(2) = 2^3 - 2 \cdot 2^2 - 2 + 2 =
2
2 puncte
=8−8−2+2=0= 8 - 8 - 2 + 2 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
f(−1)=0⇒m=2f(-1) = 0 \Rightarrow m = 2, deci f=X3−2X2−X+2f = X^3 - 2X^2 - X + 2
4
2 puncte
Restul împărțirii lui ff la X2−3X+2X^2 - 3X + 2 este 00, deci ff se divide cu X2−3X+2X^2 - 3X + 2
c)5 puncte
5
3 puncte
x1+x2+x3=2x_1 + x_2 + x_3 = 2, x1x2+x1x3+x2x3=−1x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = -1, x1x2x3=−mx_1 x_2 x_3 = -m
6
2 puncte
x12+x22+x32x1x2x3=6⇔6−m=6\dfrac{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}{x_1 x_2 x_3} = 6 \Leftrightarrow \dfrac{6}{-m} = 6, deci m=−1m = -1

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→Rf : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xx+1+x+1x+2+x+2x+3f(x) = \dfrac{x}{x + 1} + \dfrac{x + 1}{x + 2} + \dfrac{x + 2}{x + 3}. a) Arătați că f′(x)=1(x+1)2+1(x+2)2+1(x+3)2f'(x) = \dfrac{1}{(x + 1)^2} + \dfrac{1}{(x + 2)^2} + \dfrac{1}{(x + 3)^2}, x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty). b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Determinați imaginea funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=1⋅(x+1)−x⋅1(x+1)2+1⋅(x+2)−(x+1)⋅1(x+2)2+1⋅(x+3)−(x+2)⋅1(x+3)2=f'(x) = \dfrac{1 \cdot (x + 1) - x \cdot 1}{(x + 1)^2} + \dfrac{1 \cdot (x + 2) - (x + 1) \cdot 1}{(x + 2)^2} + \dfrac{1 \cdot (x + 3) - (x + 2) \cdot 1}{(x + 3)^2} =
2
2 puncte
=1(x+1)2+1(x+2)2+1(x+3)2= \dfrac{1}{(x + 1)^2} + \dfrac{1}{(x + 2)^2} + \dfrac{1}{(x + 3)^2}, x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty)
b)5 puncte
3
3 puncte
lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞(xx+1+x+1x+2+x+2x+3)=3\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{x}{x + 1} + \dfrac{x + 1}{x + 2} + \dfrac{x + 2}{x + 3}\right) = 3
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=3y = 3 este asimptotă orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
2 puncte
f′(x)>0f'(x) > 0, pentru orice x∈(−1,+∞)⇒fx \in (-1, +\infty) \Rightarrow f este crescătoare pe (−1,+∞)(-1, +\infty)
6
3 puncte
ff este continuă pe (−1,+∞)(-1, +\infty), lim⁡x→−1x>−1f(x)=−∞\displaystyle\lim_{\substack{x \to -1 \\ x > -1}} f(x) = -\infty și lim⁡x→+∞f(x)=3\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3, deci Im f=(−∞,3)\text{Im}\, f = (-\infty, 3)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=3x2+2x+1+ln⁡xf(x) = 3x^2 + 2x + 1 + \ln x. a) Arătați că ∫12(f(x)−ln⁡x) dx=11\displaystyle\int_1^2 (f(x) - \ln x) \, dx = 11. b) Arătați că ∫1ef(x)x dx=3e2+4e−42\displaystyle\int_1^e \dfrac{f(x)}{x} \, dx = \dfrac{3e^2 + 4e - 4}{2}. c) Determinați numărul real aa, a>1a > 1, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=1x = 1 și x=ax = a are aria egală cu a3+a2+a−2a^3 + a^2 + a - 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫12(f(x)−ln⁡x) dx=∫12(3x2+2x+1) dx=(x3+x2+x)∣12=\displaystyle\int_1^2 (f(x) - \ln x) \, dx = \int_1^2 (3x^2 + 2x + 1) \, dx = \left.(x^3 + x^2 + x)\right|_1^2 =
2
2 puncte
=(8+4+2)−(1+1+1)=11= (8 + 4 + 2) - (1 + 1 + 1) = 11
b)5 puncte
3
3 puncte
∫1ef(x)x dx=∫1e(3x+2+1x+ln⁡xx)dx=(3x22+2x+ln⁡x)∣1e+∫1eln⁡xx dx=\displaystyle\int_1^e \dfrac{f(x)}{x} \, dx = \int_1^e \left(3x + 2 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{\ln x}{x}\right) dx = \left.\left(\dfrac{3x^2}{2} + 2x + \ln x\right)\right|_1^e + \int_1^e \dfrac{\ln x}{x} \, dx =
4
2 puncte
=3e2+4e−52+ln⁡2x2∣1e=3e2+4e−42= \dfrac{3e^2 + 4e - 5}{2} + \left.\dfrac{\ln^2 x}{2}\right|_1^e = \dfrac{3e^2 + 4e - 4}{2}
c)5 puncte
5
3 puncte
A=∫1a∣f(x)∣ dx=∫1a(3x2+2x+1+ln⁡x) dx=(x3+x2+x)∣1a+(xln⁡x−x)∣1a=a3+a2+aln⁡a−2\mathcal{A} = \displaystyle\int_1^a |f(x)| \, dx = \int_1^a (3x^2 + 2x + 1 + \ln x) \, dx = \left.(x^3 + x^2 + x)\right|_1^a + \left.(x\ln x - x)\right|_1^a = a^3 + a^2 + a\ln a - 2
6
2 puncte
a3+a2+aln⁡a−2=a3+a2+a−2⇒ln⁡a=1a^3 + a^2 + a\ln a - 2 = a^3 + a^2 + a - 2 \Rightarrow \ln a = 1, deci a=ea = e

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2018 — Tehnologic (Varianta 3)

Următor →

Bac Vară Rezervă 2018 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac