BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară Rezervă 2025 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Aratati ca 2(log⁡510−log⁡52)+log⁡525=42(\log_5 10 - \log_5 2) + \log_5 25 = 4.

Rezolvare

1
3 puncte
2(log⁡510−log⁡52)+log⁡525=2log⁡55+log⁡5522(\log_5 10 - \log_5 2) + \log_5 25 = 2\log_5 5 + \log_5 5^2.
2
2 puncte
=2⋅1+2=4= 2 \cdot 1 + 2 = 4.
Exercițiul 2
Se considera functia f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x−4f(x) = x - 4. Determinati numarul real mm pentru care f(2+m)=2−mf(2 + m) = 2 - m.

Rezolvare

1
2 puncte
f(2+m)=m−2f(2 + m) = m - 2, pentru orice numar real mm.
2
3 puncte
m−2=2−mm - 2 = 2 - m, de unde obtinem m=2m = 2.
Exercițiul 3
Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia 8x⋅21−x=278^x \cdot 2^{1-x} = 2^7.

Rezolvare

1
3 puncte
22x+1=272^{2x+1} = 2^7, de unde obtinem 2x+1=72x + 1 = 7.
2
2 puncte
x=3x = 3.
Exercițiul 4
Se considera multimea A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}. Determinati cate dintre numerele naturale de trei cifre distincte, care se pot forma cu cifre din multimea AA, sunt divizibile cu 55.

Rezolvare

1
2 puncte
Cifra unitatilor se poate alege intr-un singur mod (cifra 55).
2
3 puncte
Cifra sutelor se poate alege in 55 moduri si, pentru fiecare alegere a cifrei sutelor, cifra zecilor se poate alege in cate 44 moduri, deci sunt 1⋅5⋅4=201 \cdot 5 \cdot 4 = 20 de numere.
Exercițiul 5
In reperul cartezian xOyxOy se considera punctele A(0,1)A(0, 1), B(2,0)B(2, 0) si C(4,6)C(4, 6). Determinati ecuatia dreptei dd ce trece prin punctul AA si este paralela cu dreapta BCBC.

Rezolvare

1
3 puncte
mBC=6−04−2=3m_{BC} = \frac{6 - 0}{4 - 2} = 3, deci md=3m_d = 3.
2
2 puncte
Ecuatia dreptei dd este y−1=3(x−0)y - 1 = 3(x - 0), adica y=3x+1y = 3x + 1.
Exercițiul 6
Se considera expresia E(x)=tg⁡x⋅(cos⁡3x4)2−cos⁡x2E(x) = \operatorname{tg} x \cdot \left(\cos \frac{3x}{4}\right)^2 - \cos \frac{x}{2}, unde x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). Aratati ca E(π3)=0E\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0.

Rezolvare

1
3 puncte
tg⁡π3=3\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}, cos⁡π4=22\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡π6=32\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
2
2 puncte
E(π3)=3⋅(22)2−32=3⋅12−32=0E\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se considera matricea A(a)=(a1−20a1241)A(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & -2 \\ 0 & a & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{pmatrix} si sistemul de ecuatii {ax+y−2z=4ay+z=12x+4y+z=4\begin{cases} ax + y - 2z = 4 \\ ay + z = 1 \\ 2x + 4y + z = 4 \end{cases}, unde aa este numar real. a) Aratati ca det⁡(A(1))=3\det(A(1)) = 3. b) Aratati ca sistemul de ecuatii are solutie unica, pentru orice numar real aa. c) Determinati multimea numerelor reale aa pentru care solutia (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) a sistemului de ecuatii verifica inegalitatea y0≥1y_0 \geq 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(1)=(11−2011241)A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(1))=∣11−2011241∣\det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{vmatrix}.
2
3 puncte
=1+0+2+4−4−0=3= 1 + 0 + 2 + 4 - 4 - 0 = 3.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) det⁡(A(a))=∣a1−20a1241∣=a2+2\det(A(a)) = \begin{vmatrix} a & 1 & -2 \\ 0 & a & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{vmatrix} = a^2 + 2, pentru orice numar real aa.
4
2 puncte
a2+2≠0a^2 + 2 \neq 0, pentru orice numar real aa, deci sistemul de ecuatii are solutie unica, pentru orice numar real aa.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) y0=12−3aa2+2y_0 = \frac{12 - 3a}{a^2 + 2}, pentru orice numar real aa.
6
2 puncte
12−3aa2+2≥1\frac{12 - 3a}{a^2 + 2} \geq 1, de unde obtinem a∈[−5,2]a \in [-5, 2].
Exercițiul 2
Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie asociativa x∗y=4−12(x−4)(y−4)x * y = 4 - \frac{1}{2}(x - 4)(y - 4). a) Aratati ca 6∗7=16 * 7 = 1. b) Determinati numarul real xx pentru care x∗(x+4)=6x * (x + 4) = 6. c) Determinati tripletele (m,n,p)(m, n, p) de numere naturale, cu m<n<pm < n < p, pentru care m∗n∗p=3m * n * p = 3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 6∗7=4−12(6−4)(7−4)6 * 7 = 4 - \frac{1}{2}(6 - 4)(7 - 4).
2
2 puncte
=4−3=1= 4 - 3 = 1.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗(x+4)=4−12(x−4)⋅xx * (x + 4) = 4 - \frac{1}{2}(x - 4) \cdot x, pentru orice numar real xx.
4
3 puncte
4−12(x−4)x=64 - \frac{1}{2}(x - 4)x = 6, de unde obtinem x=2x = 2.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) m∗n∗p=4+14(m−4)(n−4)(p−4)m * n * p = 4 + \frac{1}{4}(m - 4)(n - 4)(p - 4), pentru orice numere naturale mm, nn si pp.
6
2 puncte
4+14(m−4)(n−4)(p−4)=34 + \frac{1}{4}(m - 4)(n - 4)(p - 4) = 3, adica (m−4)(n−4)(p−4)=−4(m - 4)(n - 4)(p - 4) = -4 si, cum mm, nn si pp sunt numere naturale cu m<n<pm < n < p, obtinem tripletele (2,5,6)(2, 5, 6) si (3,5,8)(3, 5, 8).

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se considera functia f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(x−5)x2+2f(x) = (x - 5)\sqrt{x^2 + 2}. a) Aratati ca f′(x)=2x2−5x+2x2+2f'(x) = \frac{2x^2 - 5x + 2}{\sqrt{x^2 + 2}}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinati intervalele de monotonie ale functiei ff. c) Aratati ca lim⁡x→+∞(x2−5xf(x))x=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x^2 - 5x}{f(x)}\right)^x = 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=x2+2+(x−5)⋅2x2x2+2f'(x) = \sqrt{x^2 + 2} + (x - 5) \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 2}}.
2
2 puncte
=x2+2+x2−5xx2+2=2x2−5x+2x2+2= \frac{x^2 + 2 + x^2 - 5x}{\sqrt{x^2 + 2}} = \frac{2x^2 - 5x + 2}{\sqrt{x^2 + 2}}, x∈Rx \in \mathbb{R}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f′(x)=0⇔x=12f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} sau x=2x = 2.
4
3 puncte
Pentru orice x∈(−∞,12]x \in \left(-\infty, \frac{1}{2}\right], f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescatoare pe (−∞,12]\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]; pentru orice x∈[12,2]x \in \left[\frac{1}{2}, 2\right], f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescatoare pe [12,2]\left[\frac{1}{2}, 2\right]; pentru orice x∈[2,+∞)x \in [2, +\infty), f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescatoare pe [2,+∞)[2, +\infty).
c)5 puncte
5
3 puncte
c) lim⁡x→+∞(x2−5xf(x))x=lim⁡x→+∞(1−2x2+2)−x2+22⋅−xx2+22\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x^2 - 5x}{f(x)}\right)^x = \lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{2}{x^2 + 2}\right)^{-\frac{x^2+2}{2} \cdot \frac{-x}{\frac{x^2+2}{2}}}.
6
2 puncte
=elim⁡x→+∞(−xx2+22)=e0=1= e^{\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(-\frac{x}{\frac{x^2+2}{2}}\right)} = e^0 = 1.
Exercițiul 2
Se considera functia f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=8x3+1+ln⁡2xf(x) = 8x^3 + 1 + \ln^2 x. a) Aratati ca ∫12(f(x)−ln⁡2x)dx=31\displaystyle\int_1^2 \left(f(x) - \ln^2 x\right) dx = 31. b) Aratati ca ∫1ef(x)−8x3−1x dx=13\displaystyle\int_1^e \frac{f(x) - 8x^3 - 1}{x} \, dx = \frac{1}{3}. c) Pentru fiecare numar natural nenul nn se considera numarul In=∫1e2x(ln⁡x)nf(x)−8x3 dxI_n = \displaystyle\int_1^{e^2} \frac{x(\ln x)^n}{f(x) - 8x^3} \, dx. Demonstrati ca In+2+In≤2n−1(e4−1)I_{n+2} + I_n \leq 2^{n-1}(e^4 - 1), pentru orice numar natural nenul nn.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫12(f(x)−ln⁡2x) dx=∫12(8x3+1) dx=(2x4+x)∣12\displaystyle\int_1^2 (f(x) - \ln^2 x)\,dx = \int_1^2 (8x^3 + 1)\,dx = \left(2x^4 + x\right)\Big|_1^2.
2
2 puncte
=(32+2)−(2+1)=34−3=31= (32 + 2) - (2 + 1) = 34 - 3 = 31.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫1ef(x)−8x3−1x dx=∫1eln⁡2xx dx=∫1eln⁡2x⋅(ln⁡x)′ dx=ln⁡3x3∣1e\displaystyle\int_1^e \frac{f(x) - 8x^3 - 1}{x}\,dx = \int_1^e \frac{\ln^2 x}{x}\,dx = \int_1^e \ln^2 x \cdot (\ln x)'\,dx = \frac{\ln^3 x}{3}\Big|_1^e.
4
2 puncte
=ln⁡3e3−ln⁡313=13= \frac{\ln^3 e}{3} - \frac{\ln^3 1}{3} = \frac{1}{3}.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) In=∫1e2x(ln⁡x)n1+ln⁡2x dxI_n = \displaystyle\int_1^{e^2} \frac{x(\ln x)^n}{1 + \ln^2 x}\,dx, deci In+2+In=∫1e2x(ln⁡x)n+2+x(ln⁡x)n1+ln⁡2x dx=∫1e2x(ln⁡x)n dxI_{n+2} + I_n = \int_1^{e^2} \frac{x(\ln x)^{n+2} + x(\ln x)^n}{1 + \ln^2 x}\,dx = \int_1^{e^2} x(\ln x)^n\,dx, pentru orice numar natural nenul nn.
6
2 puncte
Pentru orice x∈[1,e2]x \in [1, e^2], ln⁡x≤2\ln x \leq 2, de unde obtinem In+2+In≤2n∫1e2x dx=2n−1(e4−1)I_{n+2} + I_n \leq 2^n \int_1^{e^2} x\,dx = 2^{n-1}(e^4 - 1).

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2025 — Tehnologic

Următor →

Bac Toamnă 2025 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac