MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeLogaritmi
Rezolvați ecuația: 3x+1+18⋅3−x=293^{x+1} + 18\cdot 3^{-x} = 29.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Introducem t=3xt=3^{x} (observaţie: t>0t>0). Avem 3x+1=3t3^{x+1}=3t şi 3−x=1/t3^{-x}=1/t, deci ecuaţia devine 3t+18⋅1t=293t+18\cdot\frac{1}{t}=29, multiplicând cu tt obţinem 3t2−29t+18=03t^{2}-29t+18=0.
24 puncte
Calculăm discriminantul Δ=292−4⋅3⋅18=625\Delta=29^{2}-4\cdot3\cdot18=625 şi rădăcinile t=29±256t=\frac{29\pm25}{6}, deci t∈{9,23}t\in\{9,\frac{2}{3}\}.
33 puncte
Revenim la xx: 3x=9⇒x=23^{x}=9\Rightarrow x=2, şi 3x=23⇒x=log⁡323=log⁡32−13^{x}=\frac{2}{3}\Rightarrow x=\log_{3}\frac{2}{3}=\log_{3}2-1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.