MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația: 64⋅9x−84⋅12x+27⋅16x=064\cdot 9^x - 84\cdot 12^x + 27\cdot 16^x = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați expresiile ca puteri: notați a=3xa=3^x, b=4xb=4^x. Atunci 9x=a29^x=a^2, 12x=ab12^x=ab, 16x=b216^x=b^2. Ecuația devine 64a2−84ab+27b2=064a^2-84ab+27b^2=0.
25 puncte
Împărțiți prin b2b^2 (notând t=ab=(34)xt=\dfrac{a}{b}=(\tfrac{3}{4})^x) obţineți ecuația 64t2−84t+27=064t^2-84t+27=0. Calculați discriminantul Δ=144\Delta=144, deci t=84±12128∈{34,916}t=\dfrac{84\pm12}{128}\in\{\tfrac{3}{4},\tfrac{9}{16}\}.
32 puncte
Din t=(34)xt=(\tfrac{3}{4})^x rezultă (34)x=34⇒x=1(\tfrac{3}{4})^x=\tfrac{3}{4}\Rightarrow x=1 și (34)x=916=(34)2⇒x=2(\tfrac{3}{4})^x=\tfrac{9}{16}= (\tfrac{3}{4})^2\Rightarrow x=2. Soluții: x=1,  x=2x=1,\;x=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.