MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeLogaritmi
Rezolvați inegalitatea 2x+2∣x∣≥222^{x}+2^{|x|}\ge 2\sqrt{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Studiați cazurile în funcție de semnul lui xx. Pentru x≥0x\ge 0 avem ∣x∣=x|x|=x şi inegalitatea devine 2x+1≥222^{x+1}\ge 2\sqrt{2}.
24 puncte
Din 2x+1≥2⋅21/22^{x+1}\ge 2\cdot 2^{1/2} rezultă 2x≥21/22^{x}\ge 2^{1/2}, deci x≥1/2x\ge 1/2. Pentru x<0x<0 avem ∣x∣=−x|x|=-x şi inegalitatea devine 2x+2−x≥222^{x}+2^{-x}\ge 2\sqrt{2}. Punând t=2x∈(0,1)t=2^{x}\in(0,1) obţinem t+1t≥22t+\dfrac{1}{t}\ge 2\sqrt{2}, echivalent cu t2−22t+1≥0t^2-2\sqrt{2}t+1\ge 0, ale cărei soluţii dau t≤2−1t\le\sqrt{2}-1 sau t≥2+1t\ge\sqrt{2}+1.
33 puncte
Din condiţia t∈(0,1)t\in(0,1) rămâne t≤2−1t\le\sqrt{2}-1, adică 2x≤2−12^{x}\le\sqrt{2}-1, deci x≤log⁡2(2−1)x\le \log_2(\sqrt{2}-1). Combinând cu cazul x≥1/2x\ge 1/2 obţinem soluţia finală (−∞, log⁡2(2−1)]∪[1/2, ∞)(-\infty,\,\log_2(\sqrt{2}-1)]\cup[1/2,\,\infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.