MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați pentru ce valoare a lui pp ecuația p⋅2x+2−x=5p\cdot 2^{x} + 2^{-x} = 5 are o singură soluție.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm u=2x>0u=2^{x}>0. Ecuaţia devine p u+1u=5p\,u+\dfrac{1}{u}=5, adică p u2−5u+1=0p\,u^{2}-5u+1=0.
24 puncte
Analizăm soluţiile în raport cu pp. Dacă p=0p=0 atunci −5u+1=0⇒u=15>0-5u+1=0\Rightarrow u=\tfrac{1}{5}>0 (o singură soluţie). Pentru p≠0p\neq0 produsul rădăcinilor este 1p\dfrac{1}{p}. Dacă p>0p>0 şi discriminantul D=25−4pD=25-4p este pozitiv atunci avem două rădăcini pozitive; pentru D=0D=0 (adică p=254p=\tfrac{25}{4}) avem o rădăcină dublă pozitivă (o singură soluţie). Dacă p<0p<0 cele două rădăcini au semne opuse, deci există exact o rădăcină pozitivă.
33 puncte
Concluzie: ecuaţia are o singură soluţie pentru p≤0p\le 0 sau p=254p=\tfrac{25}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.