MediuEcuații exponentialeClasa 11

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere RealeMonotonie și convexitate
Rezolvați inegalitatea 9⋅4−1/x+5⋅6−1/x<4⋅9−1/x9\cdot 4^{-1/x} + 5\cdot 6^{-1/x} < 4\cdot 9^{-1/x}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Domeniul: expresiile sunt bine definite pentru x≠0x\ne0 (puterile cu exponent (-1/x) cer x≠0x\ne0).
25 puncte
Notați u=2−1/xu=2^{-1/x} şi v=3−1/xv=3^{-1/x} (pozitive). Inegalitatea devine 9u2+5uv<4v29u^2+5uv<4v^2. Împărţind prin v2>0v^2>0 obţinem pentru w=uv=(2/3)−1/x=(3/2)1/xw=\dfrac{u}{v}=(2/3)^{-1/x}=(3/2)^{1/x} inegalitatea quadratică 9w2+5w−4<09w^2+5w-4<0. Calculați discriminantul Δ=169\Delta=169 şi rădăcinile w=−1w=-1 şi w=49w=\tfrac{4}{9}; aşa rezultă 0<w<490<w<\tfrac{4}{9}.
33 puncte
Din 0<(3/2)1/x<49=(3/2)−20<(3/2)^{1/x}<\tfrac{4}{9}=(3/2)^{-2} şi observaţia că baza 3/2>13/2>1 rezultă 1/x<−21/x<-2. Rezolvați 1/x<−2⇒x∈(−12,0)1/x<-2\Rightarrow x\in(-\tfrac{1}{2},0). Concluzie: x∈(−12,0)x\in(-\tfrac{1}{2},0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.