MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeLogaritmi
Rezolvați inegalitatea 8⋅3x−23x−2x>1+(23)x8\cdot \dfrac{3^{x-2}}{3^x-2^x} > 1 + \left(\dfrac{2}{3}\right)^x.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Observați că pentru orice xx avem 3x>2x3^x>2^x, deci numitorul 3x−2x3^x-2^x este pozitiv şi nu se anulează; în plus (23)x>0\left(\tfrac{2}{3}\right)^x>0.
24 puncte
Rescrieţi 3x−2=3x93^{x-2}=\dfrac{3^x}{9} şi puneţi t=(23)x  (t>0)t=\left(\tfrac{2}{3}\right)^x\;(t>0). Atunci expresia stângă devine 89⋅11−t\dfrac{8}{9}\cdot\dfrac{1}{1-t}. Inegalitatea devine 8/91−t>1+t\dfrac{8/9}{1-t}>1+t.
34 puncte
Cazuri: dacă t≥1t\ge1 nu există soluţii (contradicţie). Dacă t<1t<1, multiplicând corect obţineţi 89>1−t2⇒t2>19⇒t>13\tfrac{8}{9}>1-t^2\Rightarrow t^2>\tfrac{1}{9}\Rightarrow t>\tfrac{1}{3}. Astfel 13<t<1\tfrac{1}{3}<t<1. Revenind la xx: (23)x>13\left(\tfrac{2}{3}\right)^x>\tfrac{1}{3} şi x>0x>0, echivalent cu 0<x<ln⁡3ln⁡(3/2)0<x<\dfrac{\ln 3}{\ln(3/2)}. Concluzie: x∈(0,ln⁡3ln⁡(3/2))x\in\left(0,\dfrac{\ln 3}{\ln(3/2)}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.