MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: x2⋅2x+1+2∣x−3∣+2=x2⋅2∣x−3∣+4+2x−1x^{2}\cdot 2^{x+1} + 2^{|x-3|+2} = x^{2}\cdot 2^{|x-3|+4} + 2^{x-1}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Regrupați şi factorizați: scrieți x22x+1−2x−1=2x−1(4x2−1)x^{2}2^{x+1}-2^{x-1}=2^{x-1}(4x^{2}-1) şi 2∣x−3∣+2−x22∣x−3∣+4=2∣x−3∣+2(1−4x2)2^{|x-3|+2}-x^{2}2^{|x-3|+4}=2^{|x-3|+2}(1-4x^{2}), astfel ecuația devine (4x2−1)(2x−1−2∣x−3∣+2)=0(4x^{2}-1)\bigl(2^{x-1}-2^{|x-3|+2}\bigr)=0.;
23 puncte
Din primul factor obțineți 4x2−1=0⇒x=±124x^{2}-1=0\Rightarrow x=\pm\tfrac{1}{2}.;
33 puncte
Din al doilea factor obțineți 2x−1=2∣x−3∣+2⇒x−1=∣x−3∣+2⇒x−3=∣x−3∣2^{x-1}=2^{|x-3|+2}\Rightarrow x-1=|x-3|+2\Rightarrow x-3=|x-3|, ceea ce este adevărat exact pentru x≥3x\ge3, deci toate x≥3x\ge3 sunt soluții; verificați consistența. Concluzie: mulțimea soluțiilor este {−12, 12}∪[3,∞)\{ -\tfrac{1}{2},\,\tfrac{1}{2}\}\cup[3,\infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.