MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeEcuații iraționale
Rezolvați ecuația: 4x+x2−2−5⋅2x−1+x2−2=64^{x+\sqrt{x^{2}-2}} - 5\cdot2^{x-1+\sqrt{x^{2}-2}} = 6.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observăm că 4x+x2−2=(2x+x2−2)24^{x+\sqrt{x^{2}-2}}=(2^{x+\sqrt{x^{2}-2}})^{2}. Notăm y=2x+x2−2>0y=2^{x+\sqrt{x^{2}-2}}>0. Atunci 4x+x2−2=y24^{x+\sqrt{x^{2}-2}}=y^{2} şi 5⋅2x−1+x2−2=5⋅2−1 2x+x2−2=52y5\cdot2^{x-1+\sqrt{x^{2}-2}}=5\cdot2^{-1}\,2^{x+\sqrt{x^{2}-2}}=\dfrac{5}{2}y. Ecuația devine y2−52y=6y^{2}-\dfrac{5}{2}y=6.
24 puncte
Se multiplică cu 2: 2y2−5y−12=02y^{2}-5y-12=0. Calculăm discriminantul Δ=25+96=121\Delta=25+96=121; astfel y=5±114y=\dfrac{5\pm11}{4}, deci y=4y=4 sau y=−32y=-\tfrac{3}{2}. Se păstrează doar y=4y=4 (pozitiv).
33 puncte
Din 2x+x2−2=4=222^{x+\sqrt{x^{2}-2}}=4=2^{2} rezultă x+x2−2=2x+\sqrt{x^{2}-2}=2. Notând s=x2−2≥0s=\sqrt{x^{2}-2}\ge0 avem s=2−xs=2-x. Din aceasta rezultă, după ridicarea la pătrat, x=32x=\tfrac{3}{2}. Verificarea în domeniul de definiție este corectă, deci soluția este x=32x=\tfrac{3}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.