MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația: 4x−x2−5−12⋅2x−1−x2−5+8=04^{x-\sqrt{x^2-5}} - 12\cdot 2^{x-1-\sqrt{x^2-5}} + 8 = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați substituția y=2x−x2−5y=2^{x-\sqrt{x^2-5}}. Atunci 4x−x2−5=y24^{x-\sqrt{x^2-5}}=y^2 și 2x−1−x2−5=y22^{x-1-\sqrt{x^2-5}}=\dfrac{y}{2}, deci se obține ecuația în yy: y2−6y+8=0y^2-6y+8=0.
25 puncte
Rezolvați ecuația cuadratică: y2−6y+8=0  ⟺  (y−2)(y−4)=0y^2-6y+8=0\iff (y-2)(y-4)=0, deci y∈{2,4}y\in\{2,4\}.
32 puncte
Revenind la xx: pentru y=2y=2 avem 2x−x2−5=2⇒x−x2−5=1⇒x=32^{x-\sqrt{x^2-5}}=2\Rightarrow x-\sqrt{x^2-5}=1\Rightarrow x=3 (verificat, dominul acceptă), pentru y=4y=4 avem x−x2−5=2⇒x=94x-\sqrt{x^2-5}=2\Rightarrow x=\dfrac{9}{4}. Soluții: x=3,  x=94x=3,\;x=\dfrac{9}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.