MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 5x−1+5⋅0.2x−2=265^{x-1} + 5\cdot 0.2^{x-2} = 26.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm y=5x−1y=5^{x-1} (y>0). Observăm 0.2x−2=(15)x−2=52−x=51−(x−1)=5⋅5−(x−1)=5⋅1y0.2^{x-2}=(\frac{1}{5})^{x-2}=5^{2-x}=5^{1-(x-1)}=5\cdot5^{-(x-1)}=5\cdot\frac{1}{y}, deci 5⋅0.2x−2=25⋅1y5\cdot0.2^{x-2}=25\cdot\frac{1}{y}.
24 puncte
Ecuaţia devine y+25y=26y+\frac{25}{y}=26, multiplicăm cu yy şi obţinem y2−26y+25=0y^{2}-26y+25=0. Calculăm discriminantul Δ=262−4⋅1⋅25=576\Delta=26^{2}-4\cdot1\cdot25=576 şi rădăcinile y=26±242y=\frac{26\pm24}{2}, deci y∈{25,1}y\in\{25,1\}.
33 puncte
Revenim la xx: 5x−1=25⇒x−1=2⇒x=35^{x-1}=25\Rightarrow x-1=2\Rightarrow x=3 şi 5x−1=1⇒x−1=0⇒x=15^{x-1}=1\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.