MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeLogaritmiSisteme de Ecuații Neliniare
Rezolvați sistemul (notația log⁡\log este în baza 10): {xlog⁡y=2,  xy=20}\{x^{\log y}=2,\;xy=20\}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Luăm logaritm zecimal: (log⁡y)(log⁡x)=log⁡2(\log y)(\log x)=\log 2. Din xy=20xy=20 avem log⁡y=log⁡20−log⁡x\log y=\log20-\log x. Punând u=log⁡xu=\log x obținem ecuația quadratică u(log⁡20−u)=log⁡2u(\log20-u)=\log2, adică u2−ulog⁡20+log⁡2=0u^2-u\log20+\log2=0.
24 puncte
Observați că log⁡20=1+log⁡2\log20=1+\log2, discriminantul este (1−log⁡2)2(1-\log2)^2, deci soluțiile pentru uu sunt u=1u=1 și u=log⁡2u=\log2.
32 puncte
Construiți perechile (x,y)(x,y): pentru u=1u=1 avem x=10x=10, y=2y=2; pentru u=log⁡2u=\log2 avem x=2x=2, y=10y=10. Verificați ambele soluții în ecuațiile inițiale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.