MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-leaTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 43+2⋅cos⁡2x−7⋅41+cos⁡2x−41/2=04^{3+2\cdot\cos 2x} - 7\cdot 4^{1+\cos 2x} - 4^{1/2} = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați că 41/2=24^{1/2}=2 şi faceți substituția t=4cos⁡2x>0t=4^{\cos 2x}>0. Atunci 43+2cos⁡2x=64t24^{3+2\cos 2x}=64t^2 şi 41+cos⁡2x=4t4^{1+\cos 2x}=4t, deci ecuația devine 64t2−28t−2=064t^2-28t-2=0.
24 puncte
Rezolvați ecuația cuadratică: împărțind la 2 obținem 32t2−14t−1=032t^2-14t-1=0, discriminantul  Δ=324\,\Delta=324, t=14±1864t=\dfrac{14\pm18}{64}, deci t=12t=\dfrac12 sau t=−116t=-\dfrac{1}{16}. Din t>0t>0 rămâne t=12t=\dfrac12.
33 puncte
Revenind la xx, avem 4cos⁡2x=12⇒cos⁡2x=−124^{\cos 2x}=\dfrac12\Rightarrow\cos 2x=-\dfrac12. Rezultă 2x=2π3+2kπ2x=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi sau 2x=4π3+2kπ2x=\dfrac{4\pi}{3}+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}, deci x=π3+kπx=\dfrac{\pi}{3}+k\pi sau x=2π3+kπx=\dfrac{2\pi}{3}+k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.