MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeLogaritmi
Rezolvați inegalitatea 4x−2⋅52x−10x>04^{x}-2\cdot 5^{2x}-10^{x} > 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm a=2x>0a=2^{x}>0 şi b=5x>0b=5^{x}>0. Atunci 4x=a24^{x}=a^{2}, 52x=b25^{2x}=b^{2} şi 10x=ab10^{x}=ab, deci inegalitatea devine a2−ab−2b2>0a^{2}-ab-2b^{2}>0.
24 puncte
Împărţind prin b2>0b^{2}>0 obţinem în funcţie de t=ab=(2/5)xt=\dfrac{a}{b}=(2/5)^{x} inegalitatea t2−t−2>0t^{2}-t-2>0. Rezolvarea ecuaţiei asociate dă rădăcinile t=2t=2 şi t=−1t=-1 şi deci condiţia este t>2t>2.
33 puncte
Având t=(2/5)x>2t=(2/5)^{x}>2, aplicăm logaritm şi obţinem x<ln⁡2ln⁡(2/5)x<\dfrac{\ln 2}{\ln(2/5)}. Concluzie: soluția este   (−∞,  ln⁡2ln⁡(2/5)) \;(-\infty,\;\dfrac{\ln 2}{\ln(2/5)})\, (valoare numerică aproximativ x<−0.7566x< -0.7566).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.