MediuEcuații exponentialeClasa 11

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeȘiruri de numere reale
Rezolvați ecuația: (5+24)x+(5−24)x=10(\sqrt{5}+\sqrt{24})^{x} + (\sqrt{5}-\sqrt{24})^{x} = 10.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Notați a=5+24>0a=\sqrt5+\sqrt{24}>0 şi b=5−24<0b=\sqrt5-\sqrt{24}<0. Pentru ca bxb^{x} să fie real, dacă lucrăm pe mulțimea numerelor reale, este necesar ca xx să fie întreg.
23 puncte
Pentru x=n∈Zx=n\in\mathbb{Z} definiți un=an+bnu_n=a^n+b^n. Observați că u0=2u_0=2, u1=25≈4.472u_1=2\sqrt5\approx4.472, u2=58u_2=58 şi secvența determinată de relația de recurență asociată creşte rapid; astfel nu există n∈Zn\in\mathbb{Z} cu un=10u_n=10.
33 puncte
Concluzie: nu există soluții reale ale ecuației. (Se menține observația privind imposibilitatea definiri lui bxb^{x} ca număr real pentru xx neîntreg.)

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.