MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeLogaritmiSisteme de Ecuații Neliniare
Rezolvați sistemul: {2log⁡2x−3y=153y⋅log⁡2x=2log⁡2x+3y+1\begin{cases} 2\log_2 x - 3^y = 15 \\ 3^y\cdot\log_2 x = 2\log_2 x + 3^{y+1} \end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm u=log⁡2xu=\log_2 x şi v=3y>0v=3^y>0. Sistemul devine 2u−v=152u-v=15 şi uv=2u+3vuv=2u+3v.
24 puncte
Din prima obţinem u=15+v2u=\dfrac{15+v}{2}. Înlocuind în a doua rezultă v⋅15+v2=2⋅15+v2+3vv\cdot\dfrac{15+v}{2}=2\cdot\dfrac{15+v}{2}+3v, ceea ce duce la ecuaţia v2+7v−30=0v^2+7v-30=0, cu soluţii v=3v=3 şi v=−10v=-10 (se păstrează doar v=3v=3 deoarece v>0v>0).
33 puncte
Pentru v=3v=3 avem u=(15+3)/2=9u=(15+3)/2=9, deci log⁡2x=9⇒x=29=512\log_2 x=9\Rightarrow x=2^9=512 şi 3y=3⇒y=13^y=3\Rightarrow y=1. Soluţia: (512,1)(512,1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.