MediuEcuații exponentialeClasa 11

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeMonotonie și convexitateDerivate
Rezolvați ecuația: 52x=32x+2⋅5x+2⋅3x5^{2x}=3^{2x}+2\cdot5^{x}+2\cdot3^{x}

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Notând a=5x,  b=3xa=5^{x},\;b=3^{x}, transformaţi ecuaţia în a2=b2+2a+2ba^{2}=b^{2}+2a+2b şi aduceţi toţi termenii pe un membru: a2−2a−(b2+2b)=0a^{2}-2a-(b^{2}+2b)=0;
26 puncte
Observaţi că (a−1)2−(b+1)2=0⇒(a+b)(a−b−2)=0(a-1)^{2}-(b+1)^{2}=0\Rightarrow (a+b)(a-b-2)=0. Fiind a+b>0a+b>0, rezultă a−b−2=0⇒5x−3x=2a-b-2=0\Rightarrow5^{x}-3^{x}=2. Verificaţi x=1x=1 şi, din monotonia funcţiei f(x)=5x−3xf(x)=5^{x}-3^{x} (derivata f′(x)=5xln⁡5−3xln⁡3>0f'(x)=5^{x}\ln5-3^{x}\ln3>0), concluzionaţi unicitatea soluţiei: x=1x=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.