MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeLogaritmi
Rezolvați ecuația: 32x+1=3x+2+1−6⋅3x+32(x+1)3^{2x+1} = 3^{x+2} + \sqrt{1 - 6\cdot 3^{x} + 3^{2(x+1)}}

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Puneți t=3x>0t=3^{x}>0. Rescrieți termenii: 32x+1=3t23^{2x+1}=3t^{2}, 3x+2=9t3^{x+2}=9t şi 32(x+1)=9t23^{2(x+1)}=9t^{2}, astfel radicalul devine 1−6t+9t2\sqrt{1-6t+9t^{2}}.;
23 puncte
Observați că 1−6t+9t2=(3t−1)21-6t+9t^{2}=(3t-1)^{2}, deci ecuația devine 3t2=9t+∣3t−1∣3t^{2}=9t+|3t-1|.;
32 puncte
Faceți analiza cazurilor pentru ∣3t−1∣|3t-1|: pentru 3t−1≥03t-1\ge0 (adică t≥13t\ge\tfrac{1}{3}) obțineți ecuația t2−12t+3=0t^{2}-12t+3=0 cu soluția acceptabilă t=6+333t=\dfrac{6+\sqrt{33}}{3}; pentru 3t−1<03t-1<0 obțineți o soluție negativă pentru tt, neacceptabilă deoarece t>0t>0.;
42 puncte
Concludeți 3x=6+3333^{x}=\dfrac{6+\sqrt{33}}{3} şi scrieți soluția x=log⁡3 ⁣(6+333)x=\log_{3}\!\left(\dfrac{6+\sqrt{33}}{3}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.