MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeLogaritmiFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea: (25)log⁡0.25 ⁣(x2+5x+8)≤2.5\left(\dfrac{2}{5}\right)^{\log_{0.25}\!(x^2+5x+8)} \le 2.5.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul: expresia din logaritm trebuie pozitivă: x2+5x+8>0x^2+5x+8>0. Observați că polinomul este pozitiv pentru toate valorile reale (discriminant negativ) sau verificați valoarea minimă; în particular pe intervalele pe care le vom obține rămâne pozitiv.
25 puncte
Observați că 25∈(0,1)\tfrac{2}{5}\in(0,1) şi că 2.5=522.5=\tfrac{5}{2}. Calculați log⁡0.42.5=ln⁡(2.5)ln⁡(0.4)=−1\log_{0.4}2.5=\dfrac{\ln(2.5)}{\ln(0.4)}=-1. Inegalitatea devine log⁡0.25(x2+5x+8)≥−1\log_{0.25}(x^2+5x+8)\ge -1. Cum baza 0.25∈(0,1)0.25\in(0,1), operatorul logaritm este descrescător, deci echivalent este x2+5x+8≤0.25−1=4x^2+5x+8\le 0.25^{-1}=4 şi în plus x2+5x+8>0x^2+5x+8>0. Din x2+5x+8≤4x^2+5x+8\le4 obţinem x2+5x+4≤0x^2+5x+4\le0, adică (x+1)(x+4)≤0(x+1)(x+4)\le0, deci x∈[−4,−1]x\in[-4,-1].
32 puncte
Verificați domeniul (expr. din log >0 pe acest interval) şi scrieți soluţia finală x∈[−4,−1]x\in[-4,-1].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.