MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeLogaritmi
Rezolvați ecuația: 4−1/x+6−1/x=9−1/x4^{-1/x} + 6^{-1/x} = 9^{-1/x}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm t=−1/xt=-1/x (observăm x≠0x\neq0), ecua\c{t}ia devine 4t+6t=9t4^{t}+6^{t}=9^{t}.
24 puncte
Împărţim cu 9t9^{t}: (4/9)t+(6/9)t=1(4/9)^{t}+(6/9)^{t}=1. Observăm (4/9)t=((2/3)t)2(4/9)^{t}=((2/3)^{t})^{2} şi (6/9)t=(2/3)t(6/9)^{t}=(2/3)^{t}. Punem u=(2/3)tu=(2/3)^{t} şi ob\c{t}inem u2+u−1=0u^{2}+u-1=0.
33 puncte
Rezolvăm: u=dfrac−1+52=dfrac5−12>0u=\\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}=\\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}>0. Revenind la tt: t=dfraclnuln(2/3)t=\\dfrac{\\ln u}{\\ln(2/3)}, deci x=−1/tx=-1/t şi x=−dfracln(2/3)ln(dfrac5−12)x=-\\dfrac{\\ln(2/3)}{\\ln\left(\\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right)} (verifică x≠0x\neq0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.