MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeLogaritmi
Rezolvați ecuația: 51+log⁡4x+5log⁡1/4x−1=2655^{1+\log_4 x} + 5^{\log_{1/4} x -1} = \tfrac{26}{5}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observăm că log⁡1/4x=−log⁡4x\log_{1/4}x=-\log_4 x. Punem y=log⁡4xy=\log_4 x şi obţinem ecuaţia 51+y+5−1−y=2655^{1+y}+5^{-1-y}=\tfrac{26}{5}, respectiv, cu t=5yt=5^y, 5t+15t=2655t+\tfrac{1}{5t}=\tfrac{26}{5}.
24 puncte
Multiplicăm cu 5t5t şi rezolvăm cuadratica 25t2−26t+1=025t^2-26t+1=0, având discriminant Δ=576\Delta=576 şi soluţii t=1t=1 şi t=125t=\tfrac{1}{25}.
33 puncte
Revenim la yy: 5y=1⇒y=05^y=1\Rightarrow y=0 şi 5y=125⇒y=−25^y=\tfrac{1}{25}\Rightarrow y=-2. Din y=log⁡4xy=\log_4 x rezultă x=1x=1 şi x=4−2=116x=4^{-2}=\tfrac{1}{16}; ambele satisfac domeniul x>0x>0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.