MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 3⋅52x−1−2⋅5x−1=0.23\cdot 5^{2x-1} - 2\cdot 5^{x-1} = 0.2.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Se face substituția t=5x−1>0t=5^{x-1}>0. Observăm că 52x−1=5⋅(5x−1)2=5t25^{2x-1}=5\cdot(5^{x-1})^2=5t^2. Ecuația devine 3⋅5t2−2t=0.2=5−13\cdot 5t^2-2t=0.2=5^{-1}, adică 15t2−2t−5−1=015t^2-2t-5^{-1}=0.
26 puncte
Se multiplică cu 5: 75t2−10t−1=075t^2-10t-1=0. Calculăm discriminantul Δ=(−10)2−4⋅75⋅(−1)=100+300=400\Delta=(-10)^2-4\cdot75\cdot(-1)=100+300=400, Δ=20\sqrt{\Delta}=20. Rezultă t=10±20150t=\frac{10\pm20}{150}, deci t=15t=\frac{1}{5} sau t=−115t=-\frac{1}{15}. Se păstrează doar t=15t=\frac{1}{5} deoarece t>0t>0. Din 5x−1=5−15^{x-1}=5^{-1} rezultă x−1=−1⇒x=0x-1=-1\Rightarrow x=0. Se verifică soluția.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.