MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O populație de bacterii crește exponențial. Dacă inițial sunt 100 de bacterii și numărul lor se dublează în 2 ore, determinați timpul necesar pentru ca populația să atingă 1000 de bacterii.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se modelează creșterea exponențială: N(t)=N0⋅atN(t) = N_0 \cdot a^t, unde N0=100N_0 = 100. Din faptul că populația se dublează în 2 ore, N(2)=200N(2) = 200, deci 100⋅a2=200100 \cdot a^2 = 200, adică a2=2a^2 = 2, de unde a=2a = \sqrt{2}. Astfel, N(t)=100⋅(2)tN(t) = 100 \cdot (\sqrt{2})^t.
23 puncte
Se formează ecuația pentru timpul tt când N(t)=1000N(t) = 1000: 100⋅(2)t=1000100 \cdot (\sqrt{2})^t = 1000, deci (2)t=10(\sqrt{2})^t = 10.
33 puncte
Se aplică logaritmul: log⁡((2)t)=log⁡(10)\log((\sqrt{2})^t) = \log(10), deci t⋅log⁡(2)=1t \cdot \log(\sqrt{2}) = 1. Cum log⁡(2)=12log⁡(2)\log(\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \log(2), avem t⋅12log⁡(2)=1t \cdot \frac{1}{2} \log(2) = 1, de unde t=2log⁡(2)t = \frac{2}{\log(2)}. Dacă se folosește logaritmul natural, t=2ln⁡(2)t = \frac{2}{\ln(2)} ore.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.