MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere RealeLogaritmi
Rezolvați ecuația exponentială: 3x+1+32−x=1033^{x+1} + 3^{2-x} = 10 \sqrt{3}.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Scriem ecuația sub forma 3⋅3x+93x=1033 \cdot 3^x + \frac{9}{3^x} = 10 \sqrt{3}.
22 puncte
Notăm t=3xt = 3^x cu t>0t > 0 și obținem 3t+9t=1033t + \frac{9}{t} = 10 \sqrt{3}.
32 puncte
Înmulțim cu tt și avem 3t2−103t+9=03t^2 - 10 \sqrt{3} t + 9 = 0.
42 puncte
Rezolvăm ecuația pătratică: discriminantul este Δ=(103)2−4⋅3⋅9=300−108=192\Delta = (10 \sqrt{3})^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 300 - 108 = 192, deci t=103±1922⋅3=103±836t = \frac{10 \sqrt{3} \pm \sqrt{192}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \sqrt{3} \pm 8 \sqrt{3}}{6}.
51 punct
Obținem t1=33=33/2t_1 = 3 \sqrt{3} = 3^{3/2} și t2=33=3−1/2t_2 = \frac{\sqrt{3}}{3} = 3^{-1/2}.
61 punct
Pentru t=3xt = 3^x, avem cazurile 3x=33/23^x = 3^{3/2} deci x=32x = \frac{3}{2}, și 3x=3−1/23^x = 3^{-1/2} deci x=−12x = -\frac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.