MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeSisteme de Ecuații Neliniare
Rezolvați sistemul de ecuații: {2x⋅3y=122y⋅3x=18\begin{cases} 2^x \cdot 3^y = 12 \\ 2^y \cdot 3^x = 18 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Aplicați logaritmi naturali pe ambele ecuații: ln⁡(2x⋅3y)=ln⁡12\ln(2^x \cdot 3^y) = \ln 12 și ln⁡(2y⋅3x)=ln⁡18\ln(2^y \cdot 3^x) = \ln 18.
22 puncte
Folosiți proprietățile logaritmilor: xln⁡2+yln⁡3=ln⁡12x \ln 2 + y \ln 3 = \ln 12 și yln⁡2+xln⁡3=ln⁡18y \ln 2 + x \ln 3 = \ln 18.
33 puncte
Notați A=ln⁡2A = \ln 2, B=ln⁡3B = \ln 3. Atunci ln⁡12=2A+B\ln 12 = 2A + B și ln⁡18=A+2B\ln 18 = A + 2B. Sistemul devine: Ax+By=2A+BAx + By = 2A + B și Ay+Bx=A+2BAy + Bx = A + 2B.
43 puncte
Rezolvați sistemul. Adunând ecuațiile, obțineți (A+B)(x+y)=3A+3B  ⟹  x+y=3(A+B)(x+y) = 3A+3B \implies x+y=3. Scăzând prima ecuație din a doua, obțineți (B−A)(x−y)=B−A  ⟹  x−y=1(B-A)(x-y) = B-A \implies x-y=1. Rezolvând, x=2x=2 și y=1y=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.