MediuEcuații exponentialeClasa 11

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeStudiul funcțiilor
Determinați valorile reale ale parametrului aa pentru care ecuația a⋅2x+2−x=3a \cdot 2^{x} + 2^{-x} = 3 are soluție unică.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se notează t=2xt = 2^{x}, cu t>0t > 0. Ecuația devine at+1t=3a t + \frac{1}{t} = 3.
23 puncte
Se înmulțește cu tt și se obține at2−3t+1=0a t^2 - 3t + 1 = 0.
33 puncte
Se analizează cazurile. Dacă a=0a = 0, ecuația este liniară cu soluția t=13>0t = \frac{1}{3} > 0. Dacă a≠0a \neq 0, se calculează Δ=9−4a\Delta = 9 - 4a.
42 puncte
Pentru a<0a < 0, există o rădăcină pozitivă și una negativă, deci soluție unică. Pentru a=94a = \frac{9}{4}, rădăcină dublă pozitivă, soluție unică. Pentru 0<a<940 < a < \frac{9}{4}, două rădăcini pozitive, două soluții. Pentru a>94a > \frac{9}{4}, nicio soluție. Așadar, a∈(−∞,0]∪{94}a \in (-\infty, 0] \cup \left\{ \frac{9}{4} \right\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.