MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația a⋅4x+2x+1=0a \cdot 4^x + 2^x + 1 = 0 are soluții reale.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se face substituția t=2xt = 2^x, cu t>0t > 0. Ecuația devine at2+t+1=0a t^2 + t + 1 = 0.
23 puncte
Pentru ca ecuația să aibă soluții reale în xx, este necesar ca ecuația în tt să aibă cel puțin o soluție pozitivă.
34 puncte
Se analizează cazurile: Dacă a=0a = 0, atunci t+1=0t + 1 = 0, deci t=−1t = -1, care nu este pozitiv. Dacă a≠0a \neq 0, ecuația este pătratică. Discriminantul este Δ=1−4a\Delta = 1 - 4a. Pentru rădăcini reale, trebuie Δ≥0\Delta \geq 0, adică a≤14a \leq \frac{1}{4}. Produsul rădăcinilor este 1a\frac{1}{a}. Dacă a>0a > 0, produsul pozitiv și suma −1a<0 -\frac{1}{a} < 0, deci nu există rădăcină pozitivă. Dacă a<0a < 0, produsul negativ, deci există o rădăcină pozitivă și una negativă; pentru a<0a < 0, Δ=1−4a>0\Delta = 1 - 4a > 0 întotdeauna. Astfel, condiția este a<0a < 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.