MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeMatematică aplicatăLogaritmi
O populație a unui oraș crește exponențial. După 5 ani, populația este de 100.000 de locuitori, iar după 10 ani este de 150.000 de locuitori. Determinați populația inițială și rata de creștere anuală.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se notează cu P0P_0 populația inițială și cu aa factorul de creștere anual ( a=1+ra = 1 + r, unde rr este rata). Ecuațiile sunt: P0a5=100000P_0 a^5 = 100000 și P0a10=150000P_0 a^{10} = 150000.
23 puncte
Se împarte a doua ecuație la prima: P0a10P0a5=150000100000\frac{P_0 a^{10}}{P_0 a^5} = \frac{150000}{100000}, deci a5=1.5a^5 = 1.5.
32 puncte
Se rezolvă a5=1.5a^5 = 1.5. Aplicând logaritmi, ln⁡(a5)=ln⁡(1.5)\ln(a^5) = \ln(1.5), deci 5ln⁡a=ln⁡(1.5)5 \ln a = \ln(1.5), iar ln⁡a=ln⁡(1.5)5\ln a = \frac{\ln(1.5)}{5}, de unde a=eln⁡(1.5)5a = e^{\frac{\ln(1.5)}{5}}. Sau sub formă radicală: a=1.55a = \sqrt[5]{1.5}.
42 puncte
Se înlocuiește în prima ecuație: P0=100000a5=1000001.5=2000003P_0 = \frac{100000}{a^5} = \frac{100000}{1.5} = \frac{200000}{3}. Populația inițială este 2000003≈66666.67\frac{200000}{3} \approx 66666.67 locuitori, iar rata de creștere anuală este r=a−1=1.55−1r = a - 1 = \sqrt[5]{1.5} - 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.