MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeSisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se rezolve sistemul de ecuații: {2x+2y=62x+y=8\begin{cases} 2^x + 2^y = 6 \\ 2^{x+y} = 8 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Din a doua ecuație, 2x+y=8=232^{x+y} = 8 = 2^3, deci x+y=3x+y = 3.\n
23 puncte
Se notează a=2xa = 2^x și b=2yb = 2^y. Atunci sistemul devine {a+b=6ab=2x+y=23=8\begin{cases} a + b = 6 \\ ab = 2^{x+y} = 2^3 = 8 \end{cases}, deoarece ab=2x⋅2y=2x+yab = 2^x \cdot 2^y = 2^{x+y}.\n
32 puncte
Rezolvăm sistemul în aa și bb: aa și bb sunt rădăcinile ecuației t2−6t+8=0t^2 - 6t + 8 = 0. Discriminantul Δ=36−32=4\Delta = 36 - 32 = 4, deci t1=6−22=2t_1 = \frac{6-2}{2} = 2, t2=6+22=4t_2 = \frac{6+2}{2} = 4.\n
42 puncte
Pentru a=2a=2, avem 2x=22^x=2, deci x=1x=1. Atunci din x+y=3x+y=3, y=2y=2. Pentru a=4a=4, avem 2x=42^x=4, deci x=2x=2, și y=1y=1. Soluțiile sunt (x,y)=(1,2)(x,y) = (1,2) și (2,1)(2,1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.