MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeSisteme de Ecuații NeliniareLogaritmi
Rezolvați sistemul de ecuații în mulțimea numerelor reale: {2x+3y=172x−1+3y+1=25\begin{cases} 2^x + 3^y = 17 \\ 2^{x-1} + 3^{y+1} = 25 \end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm a=2xa = 2^x și b=3yb = 3^y, cu a>0a > 0, b>0b > 0. Atunci 2x−1=a22^{x-1} = \frac{a}{2} și 3y+1=3b3^{y+1} = 3b.
23 puncte
Sistemul devine {a+b=17a2+3b=25\begin{cases} a + b = 17 \\ \frac{a}{2} + 3b = 25 \end{cases}.
33 puncte
Rezolvăm sistemul liniar. Din prima ecuație, a=17−ba = 17 - b. Înlocuim în a doua: 17−b2+3b=25\frac{17 - b}{2} + 3b = 25. Înmulțim cu 2: 17−b+6b=5017 - b + 6b = 50, deci 5b=335b = 33, b=335b = \frac{33}{5}.
42 puncte
Atunci a=17−335=525a = 17 - \frac{33}{5} = \frac{52}{5}. Revenim la xx și yy: 2x=5252^x = \frac{52}{5}, deci x=log⁡2525x = \log_2 \frac{52}{5}; 3y=3353^y = \frac{33}{5}, deci y=log⁡3335y = \log_3 \frac{33}{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.