MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația: 32x−1+3x+1−12=03^{2x-1} + 3^{x+1} - 12 = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Rescriem ecuația: 32x−1=32x33^{2x-1} = \frac{3^{2x}}{3} și 3x+1=3⋅3x3^{x+1} = 3 \cdot 3^{x}, deci ecuația devine 32x3+3⋅3x−12=0\frac{3^{2x}}{3} + 3 \cdot 3^{x} - 12 = 0. Înmulțim cu 3: 32x+9⋅3x−36=03^{2x} + 9 \cdot 3^{x} - 36 = 0.
23 puncte
Notăm t=3xt = 3^{x}, cu t>0t > 0. Ecuația devine t2+9t−36=0t^{2} + 9t - 36 = 0.
33 puncte
Rezolvăm ecuația de gradul al doilea: t2+9t−36=0t^{2} + 9t - 36 = 0. Discriminantul: Δ=81+144=225\Delta = 81 + 144 = 225, deci t1,2=−9±152t_{1,2} = \frac{-9 \pm 15}{2}. Obținem t1=3t_1 = 3 și t2=−12t_2 = -12, dar t>0t > 0, deci acceptăm doar t=3t = 3.
42 puncte
Revenim la substituție: 3x=33^{x} = 3, deci x=1x = 1. Verificăm: pentru x=1x = 1, 32⋅1−1+31+1−12=31+32−12=3+9−12=03^{2 \cdot 1 - 1} + 3^{1+1} - 12 = 3^{1} + 3^{2} - 12 = 3 + 9 - 12 = 0. Soluția este x=1x = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.