MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeSisteme de Ecuații Neliniare
Determinați numerele reale xx și yy care verifică sistemul: {3x+3y=123x⋅3y=27\begin{cases} 3^{x} + 3^{y} = 12 \\ 3^{x} \cdot 3^{y} = 27 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Observăm că 3x⋅3y=3x+y3^{x} \cdot 3^{y} = 3^{x+y} și 27=3327 = 3^{3}, deci 3x+y=333^{x+y} = 3^{3}, adică x+y=3x+y = 3.
23 puncte
Notăm a=3xa = 3^{x} și b=3yb = 3^{y}, cu a,b>0a, b > 0. Sistemul devine {a+b=12a⋅b=27\begin{cases} a + b = 12 \\ a \cdot b = 27 \end{cases}.
32 puncte
aa și bb sunt rădăcinile ecuației t2−12t+27=0t^{2} - 12t + 27 = 0, deoarece suma și produsul lor sunt cunoscute. Rezolvăm: Δ=144−108=36\Delta = 144 - 108 = 36, deci t1=12−62=3t_{1} = \frac{12-6}{2} = 3 și t2=12+62=9t_{2} = \frac{12+6}{2} = 9.
42 puncte
Pentru a=3a = 3, avem 3x=33^{x} = 3, deci x=1x = 1, iar din x+y=3x+y=3 obținem y=2y=2. Pentru a=9a = 9, avem 3x=93^{x} = 9, deci x=2x = 2, și y=1y=1. Soluțiile sunt perechile (1,2)(1,2) și (2,1)(2,1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.