MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2∣x−1∣=4x+22^{|x-1|} = 4^{x+2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se observă că 4x+2=(22)x+2=22(x+2)=22x+44^{x+2} = (2^2)^{x+2} = 2^{2(x+2)} = 2^{2x+4}. Ecuația devine 2∣x−1∣=22x+42^{|x-1|} = 2^{2x+4}, deci, datorită injectivității funcției exponențiale, ∣x−1∣=2x+4|x-1| = 2x+4.
24 puncte
Se rezolvă ecuația ∣x−1∣=2x+4|x-1| = 2x+4. Cazul I: x−1=2x+4⇒x=−5x-1 = 2x+4 \Rightarrow x = -5. Cazul II: x−1=−(2x+4)⇒x−1=−2x−4⇒3x=−3⇒x=−1x-1 = -(2x+4) \Rightarrow x-1 = -2x-4 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1.
33 puncte
Se verifică soluțiile în ecuația originală. Pentru x=−5x=-5: 2∣−5−1∣=26=642^{|-5-1|} = 2^6 = 64, iar 4−5+2=4−3=1644^{-5+2} = 4^{-3} = \frac{1}{64}, deci nu satisface. Pentru x=−1x=-1: 2∣−1−1∣=22=42^{|-1-1|} = 2^2 = 4, iar 4−1+2=41=44^{-1+2} = 4^1 = 4, deci satisface. Soluția unică este x=−1x = -1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.