MediuEcuații exponentialeClasa 11

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeStudiul funcțiilor
Determinați valorile parametrului real mm pentru care ecuația e2x−mex+1=0e^{2x} - m e^{x} + 1 = 0 are exact o soluție reală.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se notează t=ext = e^{x}, cu t>0t > 0. Ecuația devine t2−mt+1=0t^2 - m t + 1 = 0.\n
23 puncte
Ecuația în tt are discriminantul Δ=m2−4\Delta = m^2 - 4. Pentru ca ecuația inițială să aibă soluții reale, ecuația în tt trebuie să aibă rădăcini pozitive.\n
33 puncte
Condiția pentru exact o soluție reală în xx este ca ecuația în tt să aibă exact o rădăcină pozitivă. Aceasta se întâmplă dacă Δ=0\Delta = 0 și rădăcina este pozitivă, sau dacă una dintre rădăcini este pozitivă și cealaltă nu.\n
42 puncte
Din t1t2=1>0t_1 t_2 = 1 > 0, rădăcinile au același semn. Pentru Δ=0\Delta = 0, m2−4=0⇒m=±2m^2 - 4 = 0 \Rightarrow m = \pm 2. Pentru m=2m=2, t=1>0t=1 > 0, deci x=0x=0 este soluție unică. Pentru m=−2m=-2, t=−1<0t=-1 < 0, nu convine. Nu există alte cazuri, deci m=2m=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.