MediuEcuații exponentialeClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații exponentiale

MediuEcuații exponentialeSisteme de Ecuații NeliniareLogaritmi
Determinați numerele reale xx și yy care verifică sistemul {2x+3y=52x+1−3y+1=1\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 5 \\ 2^{x+1} - 3^{y+1} = 1 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se notează a=2xa = 2^{x} și b=3yb = 3^{y}, unde a>0a > 0 și b>0b > 0. Sistemul devine {a+b=52a−3b=1\begin{cases} a + b = 5 \\ 2a - 3b = 1 \end{cases}.
24 puncte
Se rezolvă sistemul liniar: din prima ecuație, b=5−ab = 5 - a. Se înlocuiește în a doua: 2a−3(5−a)=1⇒2a−15+3a=1⇒5a=16⇒a=1652a - 3(5 - a) = 1 \Rightarrow 2a - 15 + 3a = 1 \Rightarrow 5a = 16 \Rightarrow a = \frac{16}{5}. Atunci b=5−165=95b = 5 - \frac{16}{5} = \frac{9}{5}.
33 puncte
Se revine la notațiile inițiale: 2x=165⇒2x=245⇒x=log⁡2(165)2^{x} = \frac{16}{5} \Rightarrow 2^{x} = \frac{2^4}{5} \Rightarrow x = \log_2 \left(\frac{16}{5}\right) și 3y=95⇒3y=325⇒y=log⁡3(95)3^{y} = \frac{9}{5} \Rightarrow 3^{y} = \frac{3^2}{5} \Rightarrow y = \log_3 \left(\frac{9}{5}\right). Se precizează că soluțiile sunt x=log⁡2165x = \log_2 \frac{16}{5}, y=log⁡395y = \log_3 \frac{9}{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații exponentiale

Ușor#1Ecuații exponentialeMatematică aplicată
Populația unui oraș crește exponențial cu o rată anuală de 2%2\%. În anul 2020, populația era de 5000050000 de locuitori. Determinați: a) Populația estimată pentru anul 2030. b) În ce an populația va depăși 7000070000 de locuitori.
Ușor#2Ecuații exponentialeLogaritmiMatematică aplicată
O cultură de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}, unde P0P_0 este numărul inițial de bacterii, kk este constanta de creștere, iar tt este timpul în ore. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 500 bacterii, iar după 2 ore sunt 2000 bacterii, determinați valoarea lui kk și timpul necesar pentru ca populația să atingă 10000 de bacterii.
Ușor#3Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: 2x−1⋅4x+18x−1=64\frac{2^{x-1}\cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = 64.
Ușor#4Ecuații exponentialeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: (0.2)x+0.55=(0.04)x25\frac{(0.2)^{x+0.5}}{\sqrt{5}} = \frac{(0.04)^x}{25}.
Vezi toate problemele de Ecuații exponentiale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații exponentiale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.