Probleme ușoare de Sisteme de Ecuații Liniare

Clasa a 11-a • 35 probleme de nivel ușor

Mediu (96)Toate
Ușor#1Sisteme de Ecuații Liniare
Rezolvați sistemul: x+y−z=2x+y-z=2, 2x−y+4z=12x-y+4z=1, −x+6y+z=5-x+6y+z=5

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se notează ecuațiile (1) x+y−z=2x+y-z=2, (2) 2x−y+4z=12x-y+4z=1, (3) −x+6y+z=5-x+6y+z=5. Se adună (1) cu (3) pentru a elimina xx, obținând 7y=77y=7 și astfel y=1y=1.
24 puncte
Se înlocuiește y=1y=1 în (1) și (2): din (1) x+1−z=2⇒x−z=1x+1-z=2\Rightarrow x-z=1, din (2) 2x−1+4z=1⇒x+2z=12x-1+4z=1\Rightarrow x+2z=1. Scăzând cele două obțin 3z=0⇒z=03z=0\Rightarrow z=0, deci x=1x=1.
33 puncte
Se scrie soluția (x,y,z)=(1,1,0)(x,y,z)=(1,1,0) și se verifică substituind în ecuațiile inițiale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#2Sisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: 2x+3y−z=62x+3y-z=6, x−y+7z=8x-y+7z=8, 3x−y+2z=73x-y+2z=7

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se exprimă xx din a doua ecuație: x=8+y−7zx=8+y-7z și se înlocuiește în (1) și (3) pentru a obține un sistem în y,zy,z.
24 puncte
Înlocuind se obține din (1) 5y−15z=−10⇒y−3z=−25y-15z=-10\Rightarrow y-3z=-2, iar din (3) 2y−19z=−172y-19z=-17. Din prima y=3z−2y=3z-2, înlocuind în a doua rezultă z=1z=1 și apoi y=1y=1.
33 puncte
Se calculează x=8+y−7z=2x=8+y-7z=2 și se scrie soluția (x,y,z)=(2,1,1)(x,y,z)=(2,1,1) cu verificare în ecuațiile inițiale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#3Sisteme de Ecuații Liniare
Rezolvați sistemul: x+2y−z=7x+2y-z=7, 2x−y+z=22x-y+z=2, 3x−5y+2z=−73x-5y+2z=-7

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se adună (1) și (2) pentru a elimina zz: (1)+(2)⇒3x+y=9⇒y=9−3x(1)+(2)\Rightarrow 3x+y=9\Rightarrow y=9-3x.
24 puncte
Se înlocuiește în (3): 3x−5(9−3x)+2z=−7⇒18x+2z=38⇒z=19−9x3x-5(9-3x)+2z=-7\Rightarrow 18x+2z=38\Rightarrow z=19-9x.
33 puncte
Se înlocuiesc yy și zz în (1): x+2(9−3x)−(19−9x)=7⇒4x−1=7⇒x=2x+2(9-3x)-(19-9x)=7\Rightarrow 4x-1=7\Rightarrow x=2, deci y=3y=3, z=1z=1. Soluția este (2,3,1)(2,3,1) și se efectuează verificarea.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Sisteme de Ecuații Liniare
Rezolvați sistemul de ecuații: {2x+3y=4,x+5y=3\begin{cases} 2x+3y=4,\\ x+5y=3 \end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Din a doua ecuație x=3−5yx=3-5y; se înlocuiește în prima: 2(3−5y)+3y=4⇒6−10y+3y=4⇒−7y=−2⇒y=272(3-5y)+3y=4\Rightarrow 6-10y+3y=4\Rightarrow -7y=-2\Rightarrow y=\tfrac{2}{7}.
26 puncte
Se află x=3−5⋅27=117x=3-5\cdot\tfrac{2}{7}=\tfrac{11}{7} şi se verifică în ambele ecuații. Soluția: (117,27)\left(\tfrac{11}{7},\tfrac{2}{7}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#5Sisteme de Ecuații Liniare
Rezolvați sistemul de ecuații: {4x−y+4z=0,x+5y−2z=3,−x+8y−2z=1\begin{cases} 4x-y+4z=0,\\ x+5y-2z=3,\\ -x+8y-2z=1 \end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Din (2) x=3−5y+2zx=3-5y+2z; se înlocuiește în (1): 4(3−5y+2z)−y+4z=0⇒−21y+12z=−124(3-5y+2z)-y+4z=0\Rightarrow -21y+12z=-12.
26 puncte
Din (2)+(3) se obține 13y−4z=413y-4z=4. Rezolvând sistemul liniar pentru y,zy,z rezultă y=0y=0, z=−1z=-1, apoi x=1x=1. Soluția: (1,0,−1)(1,0,-1). Verificare: se înlocuiește în cele trei ecuații.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#6Sisteme de Ecuații LiniareDeterminanți
Găsiți toate valorile lui a pentru care sistemul de ecuații {2x+2(a−1)y=a−42x+2(a-1)y=a-4, 2x+1+ay=22x+1+ay=2} are o soluție unică. Găsiți acea soluție.
Ușor#7Sisteme de Ecuații LiniareDeterminanți
Găsiți toate valorile lui a pentru care sistemul de ecuații {ax+(a−1)y=2+4aax+(a-1)y=2+4a, 3x+2y=a−53x+2y=a-5} are o soluție unică. Găsiți acea soluție.
Ușor#8Sisteme de Ecuații LiniareDeterminanți
Pentru ce valori ale lui a sistemul de ecuații {x+ay=1x+ay=1, ax+y=2aax+y=2a} are soluții? Găsiți acele soluții.
Ușor#9Sisteme de Ecuații LiniareDeterminanți
Pentru ce valori ale lui a sistemul de ecuații ax+y=a, x+ay=a2ax+y=a,\ x+ay=a^2 are soluții? Găsiți acele soluții.
Ușor#10Sisteme de Ecuații LiniareDeterminanți
Pentru ce valori ale lui a sistemul de ecuații x+ay=1, ax+y=a2x+ay=1,\ ax+y=a^2 are soluții? Găsiți acele soluții.
Ușor#11Sisteme de Ecuații LiniareDeterminanți
Pentru ce valori ale lui a fiecare dintre sistemele de ecuații 3x+ay=3, ax+3y=33x+ay=3,\ ax+3y=3 are un număr infinit de soluții? Găsiți acele soluții.
Ușor#12Sisteme de Ecuații LiniareDeterminanți
Pentru ce valori ale lui a fiecare dintre sistemele de ecuații (a−2)x+27y=4.5, 2x+(a+1)y=−1(a-2)x+27y=4.5,\ 2x+(a+1)y=-1 are un număr infinit de soluții? Găsiți acele soluții.
Ușor#13Sisteme de Ecuații LiniareDerivate
Pentru ce valoare a lui a suma pătratelor numerelor care constituie soluția sistemului de ecuații 3x−y=2−a,x+2y=a+13x - y = 2 - a, x + 2y = a + 1 este minimă?
Ușor#14Sisteme de Ecuații Liniare
Rezolvați sistemul de ecuații 2x+3y=5,x−y=2,x+4y=a2x + 3y = 5, x - y = 2, x + 4y = a.
Ușor#15Sisteme de Ecuații Liniare
Găsiți viteza și lungimea unui tren știind că, deplasându-se cu viteză constantă, a trecut pe lângă un observator staționar în 7 secunde și a avut nevoie de 25 secunde pentru a trece o platformă de 378 m la aceeași viteză.

Și alte 20 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Accesează toate cele 35 probleme de Sisteme de Ecuații Liniare cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.