BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2010 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați partea reală a numărului complex (3+i)6(\sqrt{3}+i)^6.

Rezolvare

1
2 puncte
Se scrie z=3+i=2(cos⁡π6+isin⁡π6)z = \sqrt{3}+i = 2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right).
2
3 puncte
z6=26(cos⁡6π6+isin⁡6π6)=−64z^6 = 2^6\left(\cos\frac{6\pi}{6}+i\sin\frac{6\pi}{6}\right) = -64, deci Re z6=−64\text{Re}\,z^6 = -64.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf:(0,\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1x3f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}. Calculați (f∘f)(512)(f\circ f)(512).

Rezolvare

1
2 puncte
f(512)=18f(512)=\frac{1}{8}.
2
3 puncte
(f∘f)(512)=f(18)=2(f\circ f)(512)=f\left(\frac{1}{8}\right)=2.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația cos⁡2x+sin⁡x=0\cos 2x + \sin x = 0.

Rezolvare

1
3 puncte
Ecuația devine 2sin⁡2x−sin⁡x−1=02\sin^2 x - \sin x - 1 = 0, cu soluțiile sin⁡x=−12\sin x = -\frac{1}{2} și sin⁡x=1\sin x = 1.
2
2 puncte
Se obțin x=π2+2kπx = \frac{\pi}{2}+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}, sau x=(−1)k+1π6+kπx = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}.
Exercițiul 4
Se consideră mulțimea M={0,1,2,3,4,5}M=\{0,1,2,3,4,5\}. Determinați numărul tripletelor (a,b,c)(a,b,c) cu proprietatea că a,b,c∈Ma,b,c\in M și a<b<ca<b<c.

Rezolvare

1
3 puncte
Numărul cerut este egal cu numărul submulțimilor cu trei elemente ale mulțimii MM.
2
2 puncte
Acesta este C63=20C_6^3 = 20.
Exercițiul 5
Calculați distanța dintre dreptele paralele de ecuații x+2y=6x+2y=6 și 2x+4y=112x+4y=11.

Rezolvare

1
2 puncte
Punctul A(0,3)A(0,3) se află pe prima dreaptă.
2
3 puncte
Distanța este d(A,d2)=∣2⋅0+4⋅3−11∣22+42=120=510d(A,d_2)=\frac{|2\cdot 0+4\cdot 3-11|}{\sqrt{2^2+4^2}}=\frac{1}{\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{5}}{10}.
Exercițiul 6
Paralelogramul ABCDABCD are AB=1AB=1, BC=2BC=2 și m(∡BAD)=60∘m(\measuredangle BAD)=60^\circ. Calculați produsul scalar AC⃗⋅AD⃗\vec{AC}\cdot\vec{AD}.

Rezolvare

1
3 puncte
AC⃗⋅AD⃗=(AB⃗+AD⃗)⋅AD⃗=AB⃗⋅AD⃗+AD2\vec{AC}\cdot\vec{AD}=(\vec{AB}+\vec{AD})\cdot\vec{AD}=\vec{AB}\cdot\vec{AD}+AD^2.
2
1 punct
AB⃗⋅AD⃗=1⋅2⋅cos⁡60∘=1\vec{AB}\cdot\vec{AD}=1\cdot 2\cdot\cos 60^\circ=1.
3
1 punct
AC⃗⋅AD⃗=1+22=5\vec{AC}\cdot\vec{AD}=1+2^2=5.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Pentru a,b,c∈R∗a,b,c\in\mathbb{R}^*, se consideră sistemul {ax+by+cz=bcx+ay+bz=abx+cy+az=c\begin{cases} ax+by+cz=b \\ cx+ay+bz=a \\ bx+cy+az=c \end{cases}, x,y,z∈Rx,y,z\in\mathbb{R}. a) Arătați că determinantul sistemului este Δ=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−ac−bc)\Delta=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc). b) Rezolvați sistemul în cazul în care este compatibil determinat. c) Știind că a2+b2+c2−ab−ac−bc=0a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0, arătați că sistemul are o infinitate de soluții (x,y,z)(x,y,z), astfel încât x2+y2=z−1x^2+y^2=z-1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) Se adună coloanele: Δ=(a+b+c)∣1bc1ab1ca∣\Delta = (a+b+c)\begin{vmatrix} 1 & b & c \\ 1 & a & b \\ 1 & c & a \end{vmatrix}.
2
3 puncte
Se calculează determinantul: =a2+b2+c2−ab−ac−bc= a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc, de unde rezultă concluzia.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se observă că x=0x=0, y=1y=1, z=0z=0 verifică sistemul.
4
2 puncte
Cum soluția este unică, aceasta este soluția căutată.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) a2+b2+c2−ab−ac−bc=0⇔(a−b)2+(a−c)2+(c−b)2=0⇔a=b=ca^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0 \Leftrightarrow (a-b)^2+(a-c)^2+(c-b)^2=0 \Leftrightarrow a=b=c.
6
2 puncte
Sistemul are o infinitate de soluții de forma x=αx=\alpha, y=βy=\beta, z=1−α−βz=1-\alpha-\beta.
7
1 punct
Se poate lua β=12(−1+1−4α2−4α)\beta=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{1-4\alpha^2-4\alpha}), cu 4α2+4α−1≤04\alpha^2+4\alpha-1\leq 0.
Exercițiul 2
Se consideră mulțimea G={(ab0^c)∣a,b,c∈Z4}G=\left\{\begin{pmatrix} a & b \\ \hat{0} & c \end{pmatrix} \mid a,b,c\in\mathbb{Z}_4\right\}. a) Determinați numărul elementelor mulțimii GG. b) Dați un exemplu de matrice A∈GA\in G cu proprietatea că det⁡A≠0^\det A\neq\hat{0} și det⁡A2=0^\det A^2=\hat{0}. c) Determinați numărul soluțiilor ecuației X2=(1^0^0^0^)X^2=\begin{pmatrix} \hat{1} & \hat{0} \\ \hat{0} & \hat{0} \end{pmatrix}, X∈GX\in G.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) aa, bb, cc pot lua fiecare 44 valori.
2
2 puncte
Avem 43=644^3=64 matrice.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Luăm A=(1^0^0^2^)A=\begin{pmatrix} \hat{1} & \hat{0} \\ \hat{0} & \hat{2} \end{pmatrix}.
4
2 puncte
det⁡(A)=2^\det(A)=\hat{2}, det⁡(A2)=0^\det(A^2)=\hat{0}.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) X=(ab0^c)⇒X2=(a2b(a+c)0^c2)X=\begin{pmatrix} a & b \\ \hat{0} & c \end{pmatrix} \Rightarrow X^2=\begin{pmatrix} a^2 & b(a+c) \\ \hat{0} & c^2 \end{pmatrix}.
6
1 punct
Ecuația devine a2=1^a^2=\hat{1}, b(a+c)=0^b(a+c)=\hat{0}, c2=0^c^2=\hat{0}.
7
2 puncte
Se obțin a∈{1^,3^}a\in\{\hat{1},\hat{3}\}, c∈{0^,2^}c\in\{\hat{0},\hat{2}\}, b=0^b=\hat{0}, deci există 44 soluții.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R∖{−1}→Rf:\mathbb{R}\setminus\{-1\}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+x+1x+1f(x)=\frac{x^2+x+1}{x+1}. a) Determinați ecuația asimptotei spre +∞+\infty la graficul funcției ff. b) Calculați f′(x)f'(x), x∈R∖{−1}x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}. c) Demonstrați că funcția ff este concavă pe intervalul (−∞,−1)(-\infty,-1).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) lim⁡x→∞f(x)x=1⇒m=1\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=1 \Rightarrow m=1.
2
3 puncte
lim⁡x→∞(f(x)−x)=0\lim_{x\to\infty}(f(x)-x)=0, deci avem asimptota oblică y=xy=x.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) f′(x)=(2x+1)(x+1)−(x2+x+1)(x+1)2f'(x)=\frac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+1)}{(x+1)^2}.
4
2 puncte
f′(x)=x2+2x(x+1)2f'(x)=\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′′(x)=2(x+1)3f''(x)=\frac{2}{(x+1)^3}.
6
2 puncte
f′′(x)<0f''(x)<0, ∀x∈(−∞,−1)\forall x\in(-\infty,-1), deci ff este concavă pe (−∞,−1)(-\infty,-1).
Exercițiul 2
Pentru orice n∈N∗n\in\mathbb{N}^* se consideră funcțiile fn:R→Rf_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, fn(x)=∣sin⁡nx∣f_n(x)=|\sin nx| și numerele In=∫π2πfn(x)x dxI_n=\int_{\pi}^{2\pi}\frac{f_n(x)}{x}\,dx. a) Calculați ∫0πf2(x) dx\int_0^{\pi}f_2(x)\,dx. b) Arătați că In≤ln⁡2I_n\leq\ln 2. c) Arătați că In≥2π(1n+1+1n+2+…+12n)I_n\geq\frac{2}{\pi}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{2n}\right).

Rezolvare

1
2 puncte
a) ∫0π∣sin⁡2x∣ dx=∫0π/2sin⁡2x dx−∫π/2πsin⁡2x dx\int_0^{\pi}|\sin 2x|\,dx = \int_0^{\pi/2}\sin 2x\,dx - \int_{\pi/2}^{\pi}\sin 2x\,dx.
2
2 puncte
I=−cos⁡2x2∣0π/2+cos⁡2x2∣π/2πI = \frac{-\cos 2x}{2}\Big|_0^{\pi/2}+\frac{\cos 2x}{2}\Big|_{\pi/2}^{\pi}.
3
1 punct
I=2I=2.
4
3 puncte
b) In=∫π2πfn(x)x dx≤∫π2π1x dxI_n = \int_{\pi}^{2\pi}\frac{f_n(x)}{x}\,dx \leq \int_{\pi}^{2\pi}\frac{1}{x}\,dx.
5
2 puncte
∫π2π1x dx=ln⁡∣x∣∣π2π=ln⁡2\int_{\pi}^{2\pi}\frac{1}{x}\,dx = \ln|x|\Big|_{\pi}^{2\pi} = \ln 2.
6
1 punct
c) In=∫nπ2nπ∣sin⁡t∣t dtI_n = \int_{n\pi}^{2n\pi}\frac{|\sin t|}{t}\,dt.
7
2 puncte
In=∫nπnπ+π∣sin⁡t∣t dt+…+∫2nπ−π2nπ∣sin⁡t∣t dt≥1π(n+1)∫nπnπ+π∣sin⁡t∣ dt+…I_n = \int_{n\pi}^{n\pi+\pi}\frac{|\sin t|}{t}\,dt+\ldots+\int_{2n\pi-\pi}^{2n\pi}\frac{|\sin t|}{t}\,dt \geq \frac{1}{\pi(n+1)}\int_{n\pi}^{n\pi+\pi}|\sin t|\,dt+\ldots
8
1 punct
Din ∫kπ(k+1)π∣sin⁡t∣ dt=2\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin t|\,dt=2, ∀k∈Z\forall k\in\mathbb{Z}, rezultă concluzia.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă Rezervă 2010 — Științele Naturii

Următor →

Model 2010 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac