BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Model 2012 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați numărul elementelor mulțimii A={x∈Z∣∣x+1∣≤24}A=\{x\in\mathbb{Z} \mid |x+1|\leq 24\}.

Rezolvare

1
2 puncte
−24≤x+1≤24-24\leq x+1\leq 24.
2
1 punct
−25≤x≤23-25\leq x\leq 23.
3
2 puncte
Card A=49\text{Card}\,A=49.
Exercițiul 2
Determinați coordonatele punctelor de intersecție a dreptei y=2x−1y=2x-1 cu parabola y=2x2−3x+1y=2x^2-3x+1.

Rezolvare

1
1 punct
2x−1=2x2−3x+12x-1=2x^2-3x+1.
2
2 puncte
x1=2x_1=2, x2=12x_2=\frac{1}{2}.
3
2 puncte
Punctele de intersecție sunt (2,3)(2,3) și (12,0)\left(\frac{1}{2},0\right).
Exercițiul 3
Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuația 1+7x3=1+x\sqrt[3]{1+7x}=1+x.

Rezolvare

1
1 punct
1+7x=1+3x+3x2+x31+7x=1+3x+3x^2+x^3.
2
1 punct
x(x2+3x−4)=0x(x^2+3x-4)=0.
3
3 puncte
x1=0x_1=0, x2=1x_2=1, x3=−4x_3=-4.
Exercițiul 4
Se consideră mulțimea A={1,2,…,10}A=\{1,2,\ldots,10\}. Determinați numărul de submulțimi cu 33 elemente ale mulțimii AA, submulțimi care conțin exact 22 numere impare.

Rezolvare

1
2 puncte
Alegem 22 numere impare din cele 55 în C52=10C_5^2=10 moduri.
2
1 punct
Alegem un număr par din cele 55 în 55 moduri.
3
2 puncte
Sunt 5050 de submulțimi.
Exercițiul 5
Determinați ecuația mediatoarei segmentului [AB][AB], unde A(1,−2)A(1,-2) și B(3,4)B(3,4).

Rezolvare

1
1 punct
Mijlocul segmentului are coordonatele (2,1)(2,1).
2
2 puncte
Dreapta ABAB are panta 33, deci mediatoarea are panta −13-\frac{1}{3}.
3
2 puncte
Ecuația mediatoarei este y=−13x+53y=-\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}.
Exercițiul 6
Știind că x∈(0,π2)x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) și cos⁡2x=13\cos 2x=\frac{1}{3}, calculați sin⁡x\sin x.

Rezolvare

1
2 puncte
cos⁡2x=1−2sin⁡2x=13\cos 2x=1-2\sin^2 x=\frac{1}{3}.
2
2 puncte
sin⁡x=±13\sin x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.
3
1 punct
x∈(0,π2)⇒sin⁡x=13x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) \Rightarrow \sin x=\frac{1}{\sqrt{3}}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră sistemul de ecuații {x+my+m2z=0mx+m2y+z=0m2x+y+mz=0\begin{cases} x+my+m^2z=0 \\ mx+m^2y+z=0 \\ m^2x+y+mz=0 \end{cases}, unde m∈Rm\in\mathbb{R}. a) Determinați valorile lui mm pentru care determinantul matricei sistemului este nul. b) Arătați că, pentru nicio valoare a lui mm, sistemul nu are o soluție (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) cu x0,y0,z0x_0,y_0,z_0 numere reale strict pozitive. c) Arătați că rangul matricei sistemului este diferit de 22, oricare ar fi m∈Rm\in\mathbb{R}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Δ=∣1mm2mm21m21m∣=−(m3−1)2\Delta=\begin{vmatrix} 1 & m & m^2 \\ m & m^2 & 1 \\ m^2 & 1 & m \end{vmatrix}=-(m^3-1)^2.
2
2 puncte
Finalizare: m=1m=1.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Dacă sistemul are soluții nenule, atunci Δ=0\Delta=0.
4
1 punct
În acest caz, sistemul se reduce la x+y+z=0x+y+z=0.
5
2 puncte
Această ecuație nu are soluții cu toate componentele strict pozitive.
c)5 puncte
6
2 puncte
c) Pentru m=1m=1, rangul este 11.
7
3 puncte
Pentru m≠1m\neq 1, rangul este 33.
Exercițiul 2
Pe mulțimea R\mathbb{R} se definește legea de compoziție x∗y=12(x+y−xy+1)x*y=\frac{1}{2}(x+y-xy+1). a) Verificați dacă legea de compoziție „∗*” este asociativă. b) Arătați că legea de compoziție „∗*” admite element neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x∗x=3x*x*x=3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
4 puncte
a) (x∗y)∗z=14(x−1)(y−1)(z−1)+1(x*y)*z=\frac{1}{4}(x-1)(y-1)(z-1)+1 și x∗(y∗z)=14(x−1)(y−1)(z−1)+1x*(y*z)=\frac{1}{4}(x-1)(y-1)(z-1)+1.
2
1 punct
Finalizare: legea este asociativă.
b)5 puncte
3
1 punct
b) Trebuie să arătăm că există e∈Re\in\mathbb{R} astfel încât x∗e=e∗x=xx*e=e*x=x, pentru orice x∈Rx\in\mathbb{R}.
4
3 puncte
x∗e=x⇔(e+1)(x−1)=0x*e=x \Leftrightarrow (e+1)(x-1)=0, ∀x∈R\forall x\in\mathbb{R}, deci e=−1e=-1.
5
1 punct
Verificarea relației (−1)∗x=x(-1)*x=x, ∀x∈R\forall x\in\mathbb{R}.
c)5 puncte
6
2 puncte
c) x∗x∗x=x3−3x2+3x+34x*x*x=\frac{x^3-3x^2+3x+3}{4}.
7
3 puncte
Ecuația x∗x∗x=3x*x*x=3 este echivalentă cu (x−3)(x2+3)=0⇒x=3(x-3)(x^2+3)=0 \Rightarrow x=3.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−3x+2f(x)=x^3-3x+2. a) Calculați lim⁡x→+∞f(x)f(−x)\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{f(-x)}. b) Demonstrați că funcția ff este descrescătoare pe intervalul [−1,1][-1,1]. c) Determinați m∈Rm\in\mathbb{R} pentru care ecuația f(x)=mf(x)=m are trei soluții reale distincte.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f(−x)=−x3+3x+2f(-x)=-x^3+3x+2.
2
3 puncte
lim⁡x→+∞x3−3x+2−x3+3x+2=−1\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3-3x+2}{-x^3+3x+2}=-1.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f′(x)=3x2−3f'(x)=3x^2-3.
4
3 puncte
f′(x)≤0f'(x)\leq 0, ∀x∈[−1,1]⇒f\forall x\in[-1,1] \Rightarrow f este descrescătoare pe [−1,1][-1,1].
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f(1)=0f(1)=0, f(−1)=4f(-1)=4, lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, lim⁡x→−∞f(x)=−∞\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
6
3 puncte
Din studiul variației funcției deducem că ecuația f(x)=mf(x)=m are trei soluții reale distincte dacă și numai dacă m∈(0,4)m\in(0,4).
Exercițiul 2
Se consideră șirul (In)n≥1(I_n)_{n\geq 1}, In=∫01(1−x2)n dxI_n=\int_0^1(1-x^2)^n\,dx. a) Calculați I2I_2. b) Demonstrați că șirul (In)n≥1(I_n)_{n\geq 1} este convergent. c) Demonstrați că (2n+1)In=2nIn−1(2n+1)I_n=2nI_{n-1}, pentru orice n≥2n\geq 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
1 punct
a) I2=∫011 dx−2∫01x2 dx+∫01x4 dx=I_2=\int_0^1 1\,dx-2\int_0^1 x^2\,dx+\int_0^1 x^4\,dx=
2
3 puncte
=(x−2x33+x55)∣01==\left(x-\frac{2x^3}{3}+\frac{x^5}{5}\right)\Big|_0^1=
3
1 punct
=815=\frac{8}{15}.
b)5 puncte
4
3 puncte
b) In−In+1=∫01x2(1−x2)n dx≥0I_n-I_{n+1}=\int_0^1 x^2(1-x^2)^n\,dx\geq 0 pentru orice nn, deci șirul este descrescător.
5
1 punct
In≥0I_n\geq 0, deci șirul este mărginit inferior.
6
1 punct
Finalizare.
c)5 puncte
7
2 puncte
c) In=x(1−x2)n∣01−n∫01x(1−x2)n−1⋅(−2x) dx=I_n=x(1-x^2)^n\Big|_0^1-n\int_0^1 x(1-x^2)^{n-1}\cdot(-2x)\,dx=
8
1 punct
=−2n∫01[(1−x2)−1](1−x2)n−1 dx==-2n\int_0^1[(1-x^2)-1](1-x^2)^{n-1}\,dx=
9
2 puncte
=−2nIn+2nIn−1⇒(2n+1)In=2nIn−1=-2nI_n+2nI_{n-1} \Rightarrow (2n+1)I_n=2nI_{n-1}, ∀n≥2\forall n\geq 2.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2012 — Științele Naturii

Următor →

Model 2012 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac