BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2012 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se considera numarul a=log⁡32a = \log_3 2. Aratati ca log⁡36=1+a\log_3 6 = 1 + a.

Rezolvare

1
2 puncte
log⁡36=log⁡33+log⁡32\log_3 6 = \log_3 3 + \log_3 2
2
3 puncte
1+log⁡32=1+a1 + \log_3 2 = 1 + a
Exercițiul 2
Determinati numarul real mm, stiind ca punctul A(0,1)A(0,1) apartine graficului functiei f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−2x+m−3f(x) = x^2 - 2x + m - 3.

Rezolvare

1
2 puncte
A(0,1)∈Gf⇔f(0)=1A(0,1) \in G_f \Leftrightarrow f(0) = 1
2
2 puncte
f(0)=m−3f(0) = m - 3
3
1 punct
m=4m = 4
Exercițiul 3
Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia log⁡2(x+1)−log⁡2(x+3)=−1\log_2(x + 1) - \log_2(x + 3) = -1.

Rezolvare

1
3 puncte
log⁡2x+1x+3=−1⇔x+1x+3=2−1\log_2 \dfrac{x+1}{x+3} = -1 \Leftrightarrow \dfrac{x+1}{x+3} = 2^{-1}
2
1 punct
x=1x = 1
3
1 punct
Verificarea conditiilor de existenta
Exercițiul 4
Determinati probabilitatea ca, alegand un numar din multimea {1,2,3,…,30}\{1, 2, 3, \ldots, 30\}, acesta sa fie divizibil cu 77.

Rezolvare

1
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibilep = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
2
2 puncte
Numerele divizibile cu 77 sunt 7,14,21,287, 14, 21, 28, deci 44 cazuri favorabile
3
1 punct
Multimea are 3030 de elemente, deci 3030 de cazuri posibile
4
1 punct
p=215p = \dfrac{2}{15}
Exercițiul 5
In reperul cartezian xOyxOy se considera punctul A(4,−1)A(4, -1). Determinati coordonatele punctului BB, stiind ca OO este mijlocul segmentului (AB)(AB).

Rezolvare

1
3 puncte
OO este mijlocul segmentului (AB)⇔xB=2xO−xA⇔xB=−4(AB) \Leftrightarrow x_B = 2x_O - x_A \Leftrightarrow x_B = -4
2
2 puncte
yB=2yO−yA⇔yB=1y_B = 2y_O - y_A \Leftrightarrow y_B = 1
Exercițiul 6
Calculati cosinusul unghiului AA al triunghiului ABCABC, stiind ca AB=5AB = 5, AC=6AC = 6 si BC=7BC = 7.

Rezolvare

1
3 puncte
BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡ABC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A
2
2 puncte
cos⁡A=15\cos A = \dfrac{1}{5}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se considera sistemul {x+y+z=12x+ay+3z=14x+a2y+9z=1\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + ay + 3z = 1 \\ 4x + a^2 y + 9z = 1 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R} si se noteaza cu AA matricea sistemului. a) Aratati ca det⁡A=−a2+5a−6\det A = -a^2 + 5a - 6. b) Determinati valorile reale ale numarului aa pentru care matricea AA este inversabila. c) Pentru a=1a = 1, rezolvati sistemul.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) det⁡A=∣1112a34a29∣\det A = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & a & 3 \\ 4 & a^2 & 9 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=−a2+5a−6= -a^2 + 5a - 6
b)5 puncte
3
2 puncte
b) AA este inversabila ⇔det⁡A≠0\Leftrightarrow \det A \neq 0
4
2 puncte
−a2+5a−6=0⇒a1=2-a^2 + 5a - 6 = 0 \Rightarrow a_1 = 2, a2=3a_2 = 3
5
1 punct
a∈R∖{2,3}a \in \mathbb{R} \setminus \{2, 3\}
c)5 puncte
6
2 puncte
c) {x+y+z=12x+y+3z=14x+y+9z=1\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 1 \\ 4x + y + 9z = 1 \end{cases}
7
3 puncte
x=0x = 0, y=1y = 1, z=0z = 0
Exercițiul 2
In Z5[X]\mathbb{Z}_5[X] se considera polinomul f=mX5+nXf = mX^5 + nX, cu m,n∈Z5m, n \in \mathbb{Z}_5. a) Determinati n∈Z5n \in \mathbb{Z}_5 pentru care f(1^)=mf(\hat{1}) = m. b) Pentru m=1^m = \hat{1} si n=4^n = \hat{4}, determinati radacinile din Z5\mathbb{Z}_5 ale polinomului ff. c) Aratati ca, daca f(1^)=f(2^)f(\hat{1}) = f(\hat{2}), atunci f(3^)=f(4^)f(\hat{3}) = f(\hat{4}).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f(1^)=m+nf(\hat{1}) = m + n
2
3 puncte
m+n=m⇔n=0^m + n = m \Leftrightarrow n = \hat{0}
b)5 puncte
3
1 punct
b) f=X5+4^Xf = X^5 + \hat{4}X
4
3 puncte
f(0^)=f(1^)=f(2^)=f(3^)=f(4^)=0^f(\hat{0}) = f(\hat{1}) = f(\hat{2}) = f(\hat{3}) = f(\hat{4}) = \hat{0}
5
1 punct
Radacinile polinomului ff sunt 0^\hat{0}, 1^\hat{1}, 2^\hat{2}, 3^\hat{3} si 4^\hat{4}
c)5 puncte
6
1 punct
c) f(1^)=m+nf(\hat{1}) = m + n, f(2^)=2^(m+n)f(\hat{2}) = \hat{2}(m + n)
7
2 puncte
f(1^)=f(2^)⇒m+n=0^f(\hat{1}) = f(\hat{2}) \Rightarrow m + n = \hat{0}
8
2 puncte
f(3^)=3^(m+n)=0^f(\hat{3}) = \hat{3}(m+n) = \hat{0}, f(4^)=4^(m+n)=0^f(\hat{4}) = \hat{4}(m+n) = \hat{0}, deci f(3^)=f(4^)f(\hat{3}) = f(\hat{4})

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se considera functia f:R∖{−1}→Rf : \mathbb{R} \setminus \{-1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−x−1x+1f(x) = \dfrac{x^2 - x - 1}{x + 1}. a) Calculati f′(x)f'(x), x∈R∖{−1}x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}. b) Calculati lim⁡x→+∞f(x)⋅ln⁡xx2−x−1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x) \cdot \ln x}{x^2 - x - 1}. c) Determinati ecuatia asimptotei oblice spre +∞+\infty la graficul functiei ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=(2x−1)(x+1)−(x2−x−1)(x+1)2f'(x) = \dfrac{(2x-1)(x+1) - (x^2 - x - 1)}{(x+1)^2}
2
2 puncte
=x2+2x(x+1)2= \dfrac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)⋅ln⁡xx2−x−1=lim⁡x→+∞ln⁡xx+1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x) \cdot \ln x}{x^2 - x - 1} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x + 1}
4
3 puncte
=lim⁡x→+∞1x=0= \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0
c)5 puncte
5
2 puncte
c) m=lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞x2−x−1x2+x=1m = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 - x - 1}{x^2 + x} = 1
6
2 puncte
n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)=lim⁡x→+∞−2x−1x+1=−2n = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{-2x - 1}{x + 1} = -2
7
1 punct
y=x−2y = x - 2 este ecuatia asimptotei oblice spre +∞+\infty
Exercițiul 2
Se considera functia f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ex⋅x+1f(x) = e^x \cdot \sqrt{x+1}. a) Determinati primitivele functiei g:(0,+∞)→Rg : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)x+1g(x) = \dfrac{f(x)}{\sqrt{x+1}}. b) Calculati ∫12x+1⋅f(x) dx\displaystyle\int_1^2 \sqrt{x+1} \cdot f(x)\, dx. c) Calculati aria suprafetei determinate de graficul functiei h:(0,+∞)→Rh : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, h(x)=e−x⋅f(x)h(x) = e^{-x} \cdot f(x), axa OxOx si dreptele de ecuatii x=2x = 2 si x=3x = 3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) g(x)=exg(x) = e^x
2
3 puncte
∫g(x) dx=ex+C\displaystyle\int g(x)\, dx = e^x + C
b)5 puncte
3
1 punct
b) ∫12x+1⋅f(x) dx=∫12(x+1)⋅ex dx\displaystyle\int_1^2 \sqrt{x+1} \cdot f(x)\, dx = \int_1^2 (x+1) \cdot e^x\, dx
4
3 puncte
=(x+1)ex∣12−∫12ex dx= (x+1) e^x\bigg|_1^2 - \displaystyle\int_1^2 e^x\, dx
5
1 punct
=2e2−e= 2e^2 - e
c)5 puncte
6
1 punct
c) h(x)=x+1h(x) = \sqrt{x+1}
7
3 puncte
A=∫23∣h(x)∣ dx=∫23x+1 dx=23(x+1)x+1∣23\mathcal{A} = \displaystyle\int_2^3 |h(x)|\, dx = \int_2^3 \sqrt{x+1}\, dx = \dfrac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}\bigg|_2^3
8
1 punct
=23(8−33)= \dfrac{2}{3}(8 - 3\sqrt{3})

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2012 — Matematică-Informatică

Următor →

Model 2012 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac